4.33
Решение математических задач на русском языке
Мне нужно ответить на математическую задачу на русском языке, внимательно рассмотрев изображение, чтобы упростить выражения, связанные с квадратными корнями. Первое выражение — \(\sqrt{\frac{36}{49\cdot144}}\), затем нужно рассмотреть \(\sqrt{\frac{121\cdot256}{25\cdot676}}\), и, наконец, \(\sqrt{\frac{169x^6}{81y^8}}\) с указанными условиями. Нужно помнить, что \(y\) не должен быть равен нулю. Я разбираюсь в деталях и понимаю, что предстоит многое упростить!
Упрощение выражений с корнями
Я вижу, что выражение включает условие «при \(x\ge 0\)», которое указывает на неотрицательность \(x\). Однако для удаления \(|a^4|\) условия не нужны, поскольку \(a^4\) всегда неотрицательно. Кроме того, \(\sqrt{x^{30}}\) упрощается до \(x^{15}\), если \(x\) неотрицателен, поэтому выражение принимает вид \(\frac{3a^4}{2x^{15}}\). Важно, чтобы \(x\) не был равен нулю, поэтому необходимо \(x>0\). Я также пошагово выполню упрощения.
Ответ:
\(\displaystyle \frac{1}{14}\);
\(\displaystyle \frac{88}{65}\);
\(\displaystyle \frac{13x^3}{9y^4}\);
\(\displaystyle \frac{3a^4}{2x^{15}}\).
Решение
Используем правило:
\[ \sqrt{u^2}=|u|. \]
\[ \sqrt{\frac{36}{49\cdot144}} =\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}\cdot\sqrt{144}} =\frac{6}{7\cdot12} =\frac1{14}. \]
\[ \sqrt{\frac{121\cdot256}{25\cdot676}} =\frac{11\cdot16}{5\cdot26} =\frac{176}{130} =\frac{88}{65}. \]
Так как \(x\ge0\), то \(\sqrt{x^6}=x^3\). Кроме того, \(\sqrt{y^8}=y^4\):
\[ \sqrt{\frac{169x^6}{81y^8}} =\frac{13x^3}{9y^4}. \]
Здесь \(y\ne0\), поскольку \(y\) находится в знаменателе.
- При \(x\ge0\) и \(x\ne0\):
\[ \sqrt{\frac{441a^8}{196x^{30}}} =\frac{21a^4}{14x^{15}} =\frac{3a^4}{2x^{15}}. \]
В последнем выражении \(\sqrt{a^8}=a^4\), так как \(a^4\ge0\).
