номер 506
Решение геометрической задачи
Прямоугольник ABCD, его диагонали пересекаются в точке O. Требуется найти периметр треугольника AOB, если ∠CAD = 30° и AC = 12 см.
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD, где ∠ADC = 90°.
По условию: \[ \angle CAD = 30^\circ,\qquad AC = 12\text{ см}. \]
Так как \(CD\) — катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), то: \[ CD = AC\cdot \sin 30^\circ = 12\cdot \frac12=6\text{ см}. \]
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому: \[ AB=CD=6\text{ см}. \]
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам: \[ AO=BO=\frac{AC}{2}=6\text{ см}. \]
Тогда периметр треугольника AOB: \[ P_{AOB}=AO+BO+AB=6+6+6=18\text{ см}. \]
Ответ: 18 см.
Разобрать, почему диагонали прямоугольника равны?
Ответ: \(18\) см.
В прямоугольнике \(ABCD\):
Треугольник \(ACD\) прямоугольный, \(AC=12\) см — гипотенуза.
\[ \sin \angle CAD=\frac{CD}{AC} \] \[ CD=12\cdot\sin30^\circ=12\cdot\frac12=6\text{ см}. \] Так как противоположные стороны прямоугольника равны, \(AB=CD=6\) см.Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам: \[ AO=\frac{AC}{2}=6\text{ см},\qquad BO=\frac{BD}{2}=\frac{AC}{2}=6\text{ см}. \]
Периметр треугольника \(AOB\): \[ P_{AOB}=AB+AO+BO=6+6+6=\boxed{18\text{ см}}. \]
Проверка: все три стороны треугольника \(AOB\) равны \(6\) см, поэтому он равносторонний.
