Реши задание на изображении

Это продолжение текущей учебной цели: на изображениях задания из того же теста по теме «степенная функция».

Правильные ответы:

1. \(y=x^{-2}\) — рисунок 1.
2. Изображён график \(y=x^3\) — вариант 1.
3. Для \(y=x^{-1/3}=\dfrac1{\sqrt[3]{x}}\): \[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty), \] — вариант 2. Это исправление предыдущего ответа.
4. Для \(y=x^{\sqrt5}\): \[ E(y)=(0;+\infty), \] — вариант 3.

Конечно. Ниже — схематичные графики функций из задания (не в масштабе).

1. \(y=x^{-2}=\dfrac1{x^2}\)

График состоит из двух ветвей в I и II четвертях.

                         y
                         ↑
                 ╱       ⋮       ╲
               ╱         ⋮         ╲
             ╱           ⋮           ╲
─────────────┼──────────────────────────→ x
             x=0

Точки: \((-2;\frac14)\), \((-1;1)\), \((1;1)\), \((2;\frac14)\).
Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).

---

2. \(y=x^3\)

График — возрастающая S-образная кривая.

                         y
                         ↑
                         │             ╱
                         │          ╱
                         │       ╱
─────────────────────────●────────────────→ x
                      ╱
                   ╱
                ╱

Точки: \((-1;-1)\), \((0;0)\), \((1;1)\).

---

3. \(y=x^{-\frac13}=\dfrac1{\sqrt[3]{x}}\)

График имеет две ветви в I и III четвертях.

                         y
                      ╲  │
                       ╲ │
                        ╲│
─────────────────────────┼──────────────→ x
              ╲          │
               ╲         │
                ╲        │

Точки: \((-8;-\frac12)\), \((-1;-1)\), \((1;1)\), \((8;\frac12)\).
Асимптоты: \(x=0\) и \(y=0\).

---

4. \(y=x^{\sqrt5}\)

График расположен в I четверти, возрастает и изгибается вверх.

                         y
                         ↑
                         │                  •
                         │             •
                         │        •
                         │    •
                         ○────────────────────→ x

Точки для построения:

\[ (1;1),\qquad (0{,}5;0{,}21),\qquad (2;4{,}71). \]

Точка \((0;0)\) показана пустым кружком, если область определения берётся \(x>0\).

Это продолжение текущей учебной цели: оба изображения содержат задания по теме степеней из того же теста.

Задание 1

\[ 0{,}008^{\frac43} =\left(0{,}2^3\right)^{\frac43} =0{,}2^4 =0{,}0016. \]

Ответ: 3) \(0{,}0016\).

Задание 2

\[ \left(x^{-2{,}5}\right)^{-\frac25} =x^{(-2{,}5)\cdot\left(-\frac25\right)} =x^1=x. \]

Ответ: 2) \(x\).

Это продолжение текущей учебной цели — упрощение выражений со степенями.

\[ b^{-0{,}2}:b^{-0{,}7} =b^{-0{,}2-(-0{,}7)} =b^{0{,}5} =\sqrt b. \]

Правильный ответ: 2) \(\sqrt b\).

\[ b^{-0{,}2}:b^{-0{,}7} \]

Двоеточие означает деление:

\[ b^{-0{,}2}:b^{-0{,}7} =\frac{b^{-0{,}2}}{b^{-0{,}7}}. \]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[ \frac{b^m}{b^n}=b^{m-n}. \]

Поэтому:

\[ b^{-0{,}2}:b^{-0{,}7} =b^{-0{,}2-(-0{,}7)}. \]

Вычислим показатель:

\[ -0{,}2-(-0{,}7)=-0{,}2+0{,}7=0{,}5. \]

Получаем:

\[ b^{0{,}5}=b^{\frac12}=\sqrt b. \]

Ответ:

\[ \boxed{\sqrt b} \]

(при \(b>0\)).

\[ b^{-0,2}:b^{-0,7}=b^{-0,2-(-0,7)}=b^{0,5}=\sqrt b. \]

№ 3

Для определения промежутков возрастания и убывания найдём производную каждой функции.

а) \(y=x^{-5}=\dfrac{1}{x^5}\)

Область определения:

\[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]

Производная:

\[ y'=-5x^{-6}=-\frac{5}{x^6}<0,\qquad x\ne0. \]

Значит, функция убывает на каждом промежутке:

\[ (-\infty;0)\quad\text{и}\quad(0;+\infty). \]

Функция нечётная, график расположен в I и III четвертях.

Асимптоты:

\[ x=0,\qquad y=0. \]

Точки для построения:

\[ (-1;-1),\qquad (1;1). \]

Схематично:

          y
          ↑       ╲
          │        ╲
──────────┼─────────╲──→ x
       ╲  │
        ╲ │
         ╲│

---

б) \(y=2x^6\)

Область определения:

\[ D(y)=\mathbb R. \]

Производная:

\[ y'=12x^5. \]

При \(x<0\):

\[ y'<0, \]

поэтому функция убывает на \((-\infty;0)\).

При \(x>0\):

\[ y'>0, \]

поэтому функция возрастает на \((0;+\infty)\).

В точке \(x=0\) функция принимает наименьшее значение:

\[ y(0)=0. \]

Функция чётная, график симметричен относительно оси \(Oy\).

Точки для построения:

\[ (-1;2),\qquad (0;0),\qquad (1;2). \]

Схематично:

          y
          ↑
       ╱  │  ╲
      ╱   │   ╲
─────╯────●────╰──→ x
           0

---

в) \(y=\dfrac{2}{x}=2x^{-1}\)

Область определения:

\[ D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]

Производная:

\[ y'=-\frac{2}{x^2}<0,\qquad x\ne0. \]

Значит, функция убывает на промежутках:

\[ (-\infty;0)\quad\text{и}\quad(0;+\infty). \]

Функция нечётная, график расположен в I и III четвертях.

Асимптоты:

\[ x=0,\qquad y=0. \]

Точки для построения:

\[ (-2;-1),\quad(-1;-2),\quad(1;2),\quad(2;1). \]

Схематично:

          y
          ↑       ╲
          │        ╲
──────────┼─────────╲──→ x
       ╲  │
        ╲ │
         ╲│

Итог

Функция	Убывает	Возрастает
\(y=x^{-5}\)	\((-\infty;0)\), \((0;+\infty)\)	нет
\(y=2x^6\)	\((-\infty;0)\)	\((0;+\infty)\)
\(y=\dfrac2x\)	\((-\infty;0)\), \((0;+\infty)\)	нет

Д)

\[ \frac{x^2+2x+2}{x+1}+\frac{x^2+8x+20}{x+4} = \frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+6x+12}{x+3} \]

1. ОДЗ

Знаменатели не должны быть равны нулю:

\[ x\ne-1,\quad x\ne-4,\quad x\ne-2,\quad x\ne-3. \]

2. Представим дроби в удобном виде

\[ x^2+2x+2=(x+1)^2+1, \]

поэтому

\[ \frac{x^2+2x+2}{x+1} =x+1+\frac1{x+1}. \]

Аналогично:

\[ \frac{x^2+8x+20}{x+4} =x+4+\frac4{x+4}, \]

\[ \frac{x^2+4x+6}{x+2} =x+2+\frac2{x+2}, \]

\[ \frac{x^2+6x+12}{x+3} =x+3+\frac3{x+3}. \]

Подставим:

\[ x+1+\frac1{x+1}+x+4+\frac4{x+4} = x+2+\frac2{x+2}+x+3+\frac3{x+3}. \]

Сократим одинаковые слагаемые \(2x+5\):

\[ \frac1{x+1}+\frac4{x+4} = \frac2{x+2}+\frac3{x+3}. \]

3. Умножим на общий знаменатель

Общий знаменатель:

\[ (x+1)(x+2)(x+3)(x+4). \]

Получаем:

\[ (x+2)(x+3)(x+4)+4(x+1)(x+2)(x+3) \] \[ -2(x+1)(x+3)(x+4)-3(x+1)(x+2)(x+4)=0. \]

Раскроем скобки:

\[ (x^3+9x^2+26x+24) +(4x^3+24x^2+44x+24) \] \[ -(2x^3+16x^2+38x+24) -(3x^3+21x^2+42x+24)=0. \]

Приведём подобные слагаемые:

\[ -4x^2-10x=0. \]

Вынесем общий множитель:

\[ -2x(2x+5)=0. \]

Отсюда:

\[ x=0 \]

или

\[ 2x+5=0,\qquad x=-\frac52. \]

Оба значения входят в ОДЗ.

\[ \boxed{x=0;\quad x=-\frac52} \]

\[ \text{ОДЗ: }x\ne-1,-2,-3,-4;\quad \frac{x^2+2x+2}{x+1}+\frac{x^2+8x+20}{x+4}=\frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+6x+12}{x+3}\Longleftrightarrow x+1+\frac1{x+1}+x+4+\frac4{x+4}=x+2+\frac2{x+2}+x+3+\frac3{x+3}\Longleftrightarrow \frac1{x+1}+\frac4{x+4}=\frac2{x+2}+\frac3{x+3}\Longleftrightarrow -4x^2-10x=0\Longleftrightarrow -2x(2x+5)=0\Longleftrightarrow \boxed{x=0\ или\ x=-\frac52}. \]

\[ \text{ОДЗ: }x\ne-1,-2,-3,-4;\quad \frac{x^2+2x+2}{x+1}+\frac{x^2+8x+20}{x+4}=\frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+6x+12}{x+3};\quad x+1+\frac1{x+1}+x+4+\frac4{x+4}=x+2+\frac2{x+2}+x+3+\frac3{x+3};\quad \frac1{x+1}+\frac4{x+4}=\frac2{x+2}+\frac3{x+3};\quad -4x^2-10x=0;\quad -2x(2x+5)=0;\quad \boxed{x=0\text{ или }x=-\frac52}. \]

Вот подробная запись решения, которую можно переписать в тетрадь:

\[ \begin{aligned} &\frac{x^2+2x+2}{x+1}+\frac{x^2+8x+20}{x+4} =\frac{x^2+4x+6}{x+2}+\frac{x^2+6x+12}{x+3}.\\[2mm] &\text{ОДЗ: }x\ne-1,\,-2,\,-3,\,-4.\\[2mm] &\frac{x^2+2x+2}{x+1} =\frac{(x+1)^2+1}{x+1} =x+1+\frac1{x+1},\\ &\frac{x^2+8x+20}{x+4} =\frac{(x+4)^2+4}{x+4} =x+4+\frac4{x+4},\\ &\frac{x^2+4x+6}{x+2} =\frac{(x+2)^2+2}{x+2} =x+2+\frac2{x+2},\\ &\frac{x^2+6x+12}{x+3} =\frac{(x+3)^2+3}{x+3} =x+3+\frac3{x+3}.\\[2mm] &x+1+\frac1{x+1}+x+4+\frac4{x+4} =x+2+\frac2{x+2}+x+3+\frac3{x+3}.\\ &\frac1{x+1}+\frac4{x+4} =\frac2{x+2}+\frac3{x+3}.\\[2mm] &\left(\frac1{x+1}+\frac4{x+4}\right) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)\\ &\qquad=\left(\frac2{x+2}+\frac3{x+3}\right) (x+1)(x+2)(x+3)(x+4).\\ &(x+2)(x+3)(x+4)+4(x+1)(x+2)(x+3)\\ &\qquad=2(x+1)(x+3)(x+4)+3(x+1)(x+2)(x+4).\\ &x^3+9x^2+26x+24+4x^3+24x^2+44x+24\\ &\qquad=2x^3+16x^2+38x+24+3x^3+21x^2+42x+24.\\ &5x^3+33x^2+70x+48=5x^3+37x^2+80x+48.\\ &-4x^2-10x=0,\qquad -2x(2x+5)=0.\\ &x=0\quad\text{или}\quad x=-\frac52. \end{aligned} \]

Оба корня входят в ОДЗ.

\[ \boxed{x=0;\quad x=-\frac52} \]

№1

\[ \frac{2x+3}{x^2-2x}-\frac{x-3}{x^2+2x}=0 \]

\[ x^2-2x=x(x-2),\qquad x^2+2x=x(x+2) \]

\[ x\ne-2,\quad x\ne0,\quad x\ne2 \]

\[ \frac{(2x+3)(x+2)-(x-3)(x-2)} {x(x-2)(x+2)}=0 \]

\[ \frac{2x^2+7x+6-(x^2-5x+6)} {x(x-2)(x+2)}=0 \]

\[ \frac{x^2+12x}{x(x-2)(x+2)}=0 \]

\[ \frac{x(x+12)}{x(x-2)(x+2)}=0 \]

\[ x(x+12)=0 \]

\[ x=0\quad\vee\quad x=-12 \]

\[ 0\notin\{-2,0,2\} \]

\[ \boxed{x=-12} \]

---

№2.1

\[ (x+7)(x-1)(x+8)<0 \]

\[ x_1=-8,\qquad x_2=-7,\qquad x_3=1 \]

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&(-\infty;-8)&-8&(-8;-7)&-7&(-7;1)&1&(1;+\infty)\\ \hline (x+7)(x-1)(x+8)&-&0&+&0&-&0&+ \end{array} \]

\[ \boxed{x\in(-\infty;-8)\cup(-7;1)} \]

---

№2.2

\[ (x-1)^2(5-x)(x-6)\ge0 \]

\[ x_1=1,\qquad x_2=5,\qquad x_3=6 \]

\[ \begin{array}{c|ccccccc} x&(-\infty;1)&1&(1;5)&5&(5;6)&6&(6;+\infty)\\ \hline (x-1)^2(5-x)(x-6)&-&0&-&0&+&0&- \end{array} \]

\[ \boxed{x\in\{1\}\cup[5;6]} \]

---

№2.3

\[ \frac{x}{x-4}-\frac3x-\frac{22}{x^2-4x}\le0 \]

\[ x^2-4x=x(x-4),\qquad x\ne0,\quad x\ne4 \]

\[ \frac{x^2-3(x-4)-22}{x(x-4)}\le0 \]

\[ \frac{x^2-3x+12-22}{x(x-4)}\le0 \]

\[ \frac{x^2-3x-10}{x(x-4)}\le0 \]

\[ \frac{(x-5)(x+2)}{x(x-4)}\le0 \]

\[ \begin{array}{c|ccccccccc} x&(-\infty;-2)&-2&(-2;0)&0&(0;4)&4&(4;5)&5&(5;+\infty)\\ \hline \dfrac{(x-5)(x+2)}{x(x-4)} &+&0&-&\nexists&+&\nexists&-&0&+ \end{array} \]

\[ \boxed{x\in[-2;0)\cup(4;5]} \]

---

№2.4

\[ \frac{(x+2)(x^2-4x+7)}{x-5}<0 \]

\[ x^2-4x+7=(x-2)^2+3>0 \]

\[ \frac{x+2}{x-5}<0,\qquad x\ne5 \]

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-2)&-2&(-2;5)&5&(5;+\infty)\\ \hline \dfrac{x+2}{x-5}&+&0&-&\nexists&+ \end{array} \]

\[ \boxed{x\in(-2;5)} \]

---

№2.5

\[ 6y-(y+8)-3(2-y)\le2 \]

\[ 6y-y-8-6+3y\le2 \]

\[ 8y-14\le2 \]

\[ 8y\le16 \]

\[ \boxed{y\le2} \]

---

№3

\[ \begin{cases} x^2+x-2\ge0,\\[2mm] \dfrac{x+2}{x-4}<0 \end{cases} \]

\[ x^2+x-2=(x+2)(x-1) \]

\[ (x+2)(x-1)\ge0 \]

\[ x\in(-\infty;-2]\cup[1;+\infty) \]

\[ \frac{x+2}{x-4}<0,\qquad x\ne4 \]

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&(-\infty;-2)&-2&(-2;4)&4&(4;+\infty)\\ \hline \dfrac{x+2}{x-4}&+&0&-&\nexists&+ \end{array} \]

\[ x\in(-2;4) \]

\[ \left((-\infty;-2]\cup[1;+\infty)\right)\cap(-2;4) \]

\[ \boxed{x\in[1;4)} \]

---

№4

\[ x^2+6x-2-\frac{35}{x^2+6x}=0 \]

\[ x^2+6x\ne0 \]

\[ x(x+6)\ne0 \]

\[ x\ne0,\qquad x\ne-6 \]

\[ t=x^2+6x,\qquad t\ne0 \]

\[ t-2-\frac{35}{t}=0 \]

\[ t^2-2t-35=0 \]

\[ (t-7)(t+5)=0 \]

\[ t=7\quad\vee\quad t=-5 \]

\[ x^2+6x=7 \]

\[ x^2+6x-7=0 \]

\[ (x-1)(x+7)=0 \]

\[ x=1\quad\vee\quad x=-7 \]

\[ x^2+6x=-5 \]

\[ x^2+6x+5=0 \]

\[ (x+1)(x+5)=0 \]

\[ x=-1\quad\vee\quad x=-5 \]

\[ \boxed{x\in\{-7;-5;-1;1\}} \]

---

№5

\[ \left( \frac{x^3+8}{x^3-2x^2+4x} +\frac{8x^3-1}{4x^2+2x+1} \right): \left( \frac{8x^3+1}{4x^2-2x+1} -\frac{x^3-8}{x^3+2x^2+4x} \right) \]

\[ x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4) \]

\[ x^3-2x^2+4x=x(x^2-2x+4) \]

\[ 8x^3-1=(2x-1)(4x^2+2x+1) \]

\[ 8x^3+1=(2x+1)(4x^2-2x+1) \]

\[ x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4) \]

\[ x^3+2x^2+4x=x(x^2+2x+4) \]

\[ x\ne0 \]

\[ \left( \frac{x+2}{x}+2x-1 \right): \left( 2x+1-\frac{x-2}{x} \right) \]

\[ \left( \frac{x+2+2x^2-x}{x} \right): \left( \frac{2x^2+x-x+2}{x} \right) \]

\[ \frac{2x^2+2}{x}:\frac{2x^2+2}{x} \]

\[ \frac{2(x^2+1)}x\cdot\frac{x}{2(x^2+1)} \]

\[ \boxed{1} \]