Решите задачу по геометрии

Краткий ответ:
\[ \gamma=80^\circ,\qquad a=\frac{7\sqrt3}{\sin80^\circ}\approx12{,}31,\qquad b=\frac{14\sin40^\circ}{\sin80^\circ}\approx9{,}14. \]

Здесь \(c=AB=14\), \(\alpha=60^\circ\), \(\beta=40^\circ\).

Решение

1. Найдём третий угол треугольника:

\[ \gamma=180^\circ-\alpha-\beta =180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ. \]

2. Применим теорему синусов:

\[ \frac{a}{\sin\alpha} =\frac{b}{\sin\beta} =\frac{c}{\sin\gamma}. \]

Для стороны \(a\):

\[ a=\frac{c\sin\alpha}{\sin\gamma} =\frac{14\sin60^\circ}{\sin80^\circ} =\frac{14\cdot\frac{\sqrt3}{2}}{\sin80^\circ} =\frac{7\sqrt3}{\sin80^\circ} \approx12{,}31. \]

Для стороны \(b\):

\[ b=\frac{c\sin\beta}{\sin\gamma} =\frac{14\sin40^\circ}{\sin80^\circ} \approx9{,}14. \]

Проверка

Угол \(80^\circ\) — самый большой, значит противоположная ему сторона \(c=14\) должна быть самой длинной:

\[ 14>12{,}31>9{,}14. \]

Это соответствует результату.