с решением

Краткий ответ

25.

1. \(70\); 2) \(30\); 3) \(168\); 4) \(108\); 5) \(5040\); 6) \(144\).

26.
\[ \text{НОД}(a,b)=120,\qquad \text{НОК}(a,b)=3600. \]

27.

1. \(75\); 2) \(96\).

28.
Остановки совпадут через \(60\) км.

Решение

Как находить НОК

Разложим числа на простые множители. Для НОК берём каждый множитель в наибольшей степени.

25

1. \[ 14=2\cdot7,\qquad 35=5\cdot7 \] \[ \text{НОК}(14;35)=2\cdot5\cdot7=\boxed{70} \]

2. \[ 10=2\cdot5,\qquad 30=2\cdot3\cdot5 \] \[ \text{НОК}(10;30)=\boxed{30} \]

3. \[ 8=2^3,\qquad 21=3\cdot7 \] \[ \text{НОК}(8;21)=2^3\cdot3\cdot7=\boxed{168} \]

4. \[ 36=2^2\cdot3^2,\qquad 54=2\cdot3^3 \] \[ \text{НОК}(36;54)=2^2\cdot3^3=\boxed{108} \]

5. \[ 630=2\cdot3^2\cdot5\cdot7, \] \[ 560=2^4\cdot5\cdot7 \] \[ \text{НОК}(630;560)=2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7=\boxed{5040} \]

Проверка: \[ 5040:630=8,\qquad 5040:560=9. \]

6. \[ 12=2^2\cdot3,\qquad 16=2^4,\qquad 18=2\cdot3^2 \] \[ \text{НОК}(12;16;18)=2^4\cdot3^2=\boxed{144} \]

26

Дано: \[ a=2^3\cdot3^2\cdot5^2,\qquad b=2^4\cdot3\cdot5. \]

Для НОД берём наименьшие степени: \[ \text{НОД}(a,b)=2^3\cdot3\cdot5=8\cdot3\cdot5=\boxed{120}. \]

Для НОК берём наибольшие степени: \[ \text{НОК}(a,b)=2^4\cdot3^2\cdot5^2 =16\cdot9\cdot25=\boxed{3600}. \]

Проверка: \[ a=1800,\qquad b=240, \] \[ 1800\cdot240=120\cdot3600. \]

27

Для общего знаменателя нужно найти НОК знаменателей.

1. \[ \text{НОК}(25;15). \] \[ 25=5^2,\qquad 15=3\cdot5 \] \[ \text{НОК}(25;15)=3\cdot5^2=\boxed{75}. \]

2. \[ \text{НОК}(32;48). \] \[ 32=2^5,\qquad 48=2^4\cdot3 \] \[ \text{НОК}(32;48)=2^5\cdot3=\boxed{96}. \]

28

Первая группа останавливается через каждые \(20\) км, вторая — через каждые \(30\) км. Значит, нужно найти:

\[ \text{НОК}(20;30). \]

Разложим числа: \[ 20=2^2\cdot5,\qquad 30=2\cdot3\cdot5. \]

Тогда: \[ \text{НОК}(20;30)=2^2\cdot3\cdot5=60. \]

Проверка: \[ 60:20=3,\qquad 60:30=2. \]

Следовательно, их остановки впервые совпадут на расстоянии

\[ \boxed{60\text{ км}}. \]