Реши мне эту функцию

Краткий ответ

Дана функция:

\[ y=2(x+1)^2-4. \]

• Вершина параболы: \(\boxed{(-1;\,-4)}\)
• Ось симметрии: \(\boxed{x=-1}\)
• Ветви направлены вверх
• Область определения: \(\boxed{x\in\mathbb R}\)
• Область значений: \(\boxed{y\ge -4}\)
• Нули функции:

\[ \boxed{x=-1\pm\sqrt2} \]

Ключевые шаги

Используем вид:

\[ y=a(x-h)^2+k. \]

Сравним:

\[ y=2(x+1)^2-4=2\bigl(x-(-1)\bigr)^2-4. \]

Значит:

\[ a=2,\qquad h=-1,\qquad k=-4. \]

Поэтому вершина:

\[ (h;k)=(-1;-4). \]

Так как \(a=2>0\), парабола направлена вверх и становится уже, чем \(y=x^2\).

Нули функции

Приравняем \(y\) к нулю:

\[ 2(x+1)^2-4=0, \]

\[ 2(x+1)^2=4, \]

\[ (x+1)^2=2, \]

\[ x+1=\pm\sqrt2, \]

\[ \boxed{x=-1\pm\sqrt2}. \]

Точки для построения графика

\[ \begin{array}{c|ccccc} x&-3&-2&-1&0&1\\ \hline y&4&-2&-4&-2&4 \end{array} \]

Например, при \(x=-1\):

\[ y=2\cdot0^2-4=-4, \]

что подтверждает вершину \((-1;-4)\).