Реши задание на изображении
Краткий ответ
- Взаимно простые пары: б) 29 и 34; г) 72 и 73.
- \( \text{НОД}=14\).
- а) \(28\); б) \(5\); в) \(102\); г) \(15\).
- \(1440=2^5\cdot3^2\cdot5\), \(240=2^4\cdot3\cdot5\); \(1440\) больше \(240\) в 6 раз.
- \(m=1,2,4,7,8,11,13,14\).
Решение и объяснение
1. Взаимно простые числа
Числа взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен \(1\).
- \(12\) и \(15\): \(\text{НОД}=3\), не подходят.
- \(29\) и \(34\): общих делителей, кроме \(1\), нет — подходят.
- \(25\) и \(30\): \(\text{НОД}=5\), не подходят.
- \(72\) и \(73\): соседние числа, поэтому \(\text{НОД}=1\) — подходят.
2. НОД по разложениям
\[ 2\cdot2\cdot5\cdot7 \quad\text{и}\quad 2\cdot7\cdot11 \]
Общие простые множители: \(2\) и \(7\).
\[ \text{НОД}=2\cdot7=\boxed{14} \]
3. Нахождение НОД
а)
\[ 84=2^2\cdot3\cdot7,\qquad 56=2^3\cdot7 \]
\[ \text{НОД}=2^2\cdot7=\boxed{28} \]
б)
\[ 45=3^2\cdot5,\qquad 65=5\cdot13 \]
\[ \text{НОД}=\boxed{5} \]
в)
\[ 204=2\cdot102 \]
Значит,
\[ \text{НОД}(102,204)=\boxed{102} \]
г)
\[ 1005=3\cdot5\cdot67,\qquad 960=2^6\cdot3\cdot5 \]
\[ \text{НОД}=3\cdot5=\boxed{15} \]
4. Разложение на простые множители
\[ 1440=2^5\cdot3^2\cdot5 \]
\[ 240=2^4\cdot3\cdot5 \]
Теперь найдём, во сколько раз первое число больше второго:
\[ 1440:240=6 \]
Ответ: в 6 раз.
5. Значения \(m\)
Дробь \(\frac{m}{15}\) правильная, поэтому:
\[ 1\le m<15. \]
Чтобы числитель и знаменатель были взаимно простыми:
\[ \text{НОД}(m,15)=1. \]
Так как
\[ 15=3\cdot5, \]
число \(m\) не должно делиться ни на \(3\), ни на \(5\). Из чисел от \(1\) до \(14\) подходят:
\[ \boxed{m=1,2,4,7,8,11,13,14}. \]
