Реши задание на изображении

Заголовок сверху обрезан, поэтому для пунктов 5–6 не видно действия. Ниже: 1–4 — упрощение выражений, 5–6 — если требуется найти производную.

Краткий ответ

1. \(\displaystyle \frac{\sin^2 d}{\sin d}=\sin d\), \(\sin d\ne0\).
2. \(\displaystyle \frac{2\cos^2 d}{\sin 2d}=\operatorname{ctg}d\), \(\sin 2d\ne0\).
3. \(\displaystyle \frac{\sin 2\beta}{\cos\beta}=2\sin\beta\), \(\cos\beta\ne0\).
4. \(\displaystyle \cos 2d+\sin^2d=\cos^2d\).
5. \(\displaystyle f'(x)=4x+\frac1{\cos^2x}\).
6. \(\displaystyle f'(x)=10x^4+\frac{3}{x\ln10}\), \(x>0\).

Решение

1. Сократим \(\sin d\):

\[ \frac{\sin^2d}{\sin d} =\frac{\sin d\cdot\sin d}{\sin d} =\sin d. \]

2. Используем формулу \(\sin 2d=2\sin d\cos d\):

\[ \frac{2\cos^2d}{\sin2d} =\frac{2\cos^2d}{2\sin d\cos d} =\frac{\cos d}{\sin d} =\operatorname{ctg}d. \]

3. По формуле \(\sin2\beta=2\sin\beta\cos\beta\):

\[ \frac{\sin2\beta}{\cos\beta} =\frac{2\sin\beta\cos\beta}{\cos\beta} =2\sin\beta. \]

4. Используем формулу \(\cos2d=\cos^2d-\sin^2d\):

\[ \cos2d+\sin^2d =\cos^2d-\sin^2d+\sin^2d =\cos^2d. \]

5. Производная суммы равна сумме производных:

\[ f'(x)=(2x^2)'+(\operatorname{tg}x)' =4x+\frac1{\cos^2x}. \]

6. Используем формулы \((x^5)'=5x^4\) и \((\lg x)'=\frac1{x\ln10}\):

\[ f'(x)=(2x^5)'+(3\lg x)' =10x^4+\frac{3}{x\ln10}. \]

Проверка: в пунктах 2–4 использованы формулы двойного угла; после обратной подстановки получаются исходные выражения.