Решение задач 351

Краткий ответ:

а) \(\displaystyle x(t)=-\frac12t^3+t^2+\frac72t-9\);

б) \(\displaystyle x(t)=3-2\sin t\);

в) \(\displaystyle x(t)=-5\cos t-3t+4+\frac{3\pi}{2}\);

г) \(\displaystyle x(t)=\frac14t^3+t^2+2t-3\).

Принцип решения

По второму закону Ньютона:

\[ m x''(t)=F(t), \qquad x'(t)=v(t). \]

Значит, нужно дважды проинтегрировать \(x''(t)=\frac{F(t)}m\), а постоянные определить из условий:

\[ x(t_0)=x_0,\qquad x'(t_0)=v_0. \]

а)

\[ x''=\frac{6-9t}{3}=2-3t. \]

Интегрируем:

\[ x'=2t-\frac32t^2+C_1. \]

Так как \(x'(1)=4\),

\[ 2-\frac32+C_1=4 \quad\Rightarrow\quad C_1=\frac72. \]

Ещё раз интегрируем:

\[ x=t^2-\frac12t^3+\frac72t+C_2. \]

Из условия \(x(1)=-5\):

\[ 1-\frac12+\frac72+C_2=-5 \quad\Rightarrow\quad C_2=-9. \]

Отсюда

\[ \boxed{x(t)=-\frac12t^3+t^2+\frac72t-9}. \]

б)

\[ x''=\frac{14\sin t}{7}=2\sin t. \]

\[ x'=-2\cos t+C_1. \]

При \(t=\pi\):

\[ x'(\pi)=2+C_1=2 \quad\Rightarrow\quad C_1=0. \]

Тогда

\[ x=-2\sin t+C_2. \]

Так как \(x(\pi)=3\), получаем \(C_2=3\):

\[ \boxed{x(t)=3-2\sin t}. \]

в)

\[ x''=\frac{25\cos t}{5}=5\cos t. \]

\[ x'=5\sin t+C_1. \]

Из условия \(x'\left(\frac\pi2\right)=2\):

\[ 5+C_1=2 \quad\Rightarrow\quad C_1=-3. \]

Следовательно,

\[ x=-5\cos t-3t+C_2. \]

Используем \(x\left(\frac\pi2\right)=4\):

\[ -\frac{3\pi}{2}+C_2=4 \quad\Rightarrow\quad C_2=4+\frac{3\pi}{2}. \]

Поэтому

\[ \boxed{x(t)=-5\cos t-3t+4+\frac{3\pi}{2}}. \]

г)

\[ x''=\frac{6t+8}{4}=\frac32t+2. \]

\[ x'=\frac34t^2+2t+C_1. \]

Из условия \(x'(2)=9\):

\[ 3+4+C_1=9 \quad\Rightarrow\quad C_1=2. \]

Интегрируем ещё раз:

\[ x=\frac14t^3+t^2+2t+C_2. \]

Так как \(x(2)=7\),

\[ 2+4+4+C_2=7 \quad\Rightarrow\quad C_2=-3. \]

Получаем

\[ \boxed{x(t)=\frac14t^3+t^2+2t-3}. \]

Проверка во всех пунктах: подстановка \(t=t_0\) даёт заданные \(x_0\) и \(v_0=x'(t_0)\), а \(m x''(t)=F(t)\).