Реши задание на изображении
Краткие ответы:
- 06.7 а) \(\boxed{x\in(-1;0]\cup[15;16)}\)
- 06.7 б) \(\boxed{x\in\left[-2;\frac14\right]}\)
- 06.8 а) \(\boxed{x\in(0;10)}\)
- 06.8 б) \(\boxed{x\in(-\infty;-4]\cup[-2;+\infty)}\)
- 06.9 а) \(\boxed{x\in\left(-\frac13;0\right)}\)
- 06.9 б) \(\boxed{x\in\left[-\frac89;0\right)\cup(1;2]}\)
Основное правило
Так как все правые части положительны:
\[ \sqrt A< c\Longleftrightarrow 0\le A<c^2, \]
\[ \sqrt A\le c\Longleftrightarrow 0\le A\le c^2, \]
\[ \sqrt A>c\Longleftrightarrow A>c^2, \qquad \sqrt A\ge c\Longleftrightarrow A\ge c^2. \]
06.7 а)
\[ \sqrt{x^2-15x}<4 \]
\[ 0\le x^2-15x<16. \]
Первое неравенство:
\[ x^2-15x=x(x-15)\ge0 \]
\[ x\in(-\infty;0]\cup[15;+\infty). \]
Второе:
\[ x^2-15x-16<0, \]
\[ (x+1)(x-16)<0, \]
\[ x\in(-1;16). \]
Пересекаем промежутки:
\[ \boxed{x\in(-1;0]\cup[15;16)}. \]
06.7 б)
\[ \sqrt{2-4x^2-7x}\le3 \]
\[ 0\le2-4x^2-7x\le9. \]
Из условия существования корня:
\[ 2-4x^2-7x\ge0 \]
\[ 4x^2+7x-2\le0. \]
Корни:
\[ x_1=-2,\qquad x_2=\frac14. \]
Поэтому
\[ x\in\left[-2;\frac14\right]. \]
Второе ограничение выполняется при всех \(x\), так как
\[ 2-4x^2-7x\le9 \Longleftrightarrow 4x^2+7x+7\ge0, \]
а дискриминант этого квадратного трёхчлена отрицателен:
\[ D=49-112=-63<0. \]
Ответ:
\[ \boxed{x\in\left[-2;\frac14\right]}. \]
06.8 а)
\[ \sqrt{x^2-10x+25}<5. \]
Так как
\[ x^2-10x+25=(x-5)^2, \]
получаем:
\[ |x-5|<5. \]
Значит,
\[ -5<x-5<5, \]
\[ \boxed{0<x<10}. \]
06.8 б)
\[ \sqrt{x^2+6x+9}\ge1. \]
\[ x^2+6x+9=(x+3)^2, \]
поэтому
\[ |x+3|\ge1. \]
Отсюда:
\[ x+3\le-1 \quad\text{или}\quad x+3\ge1. \]
Следовательно,
\[ \boxed{x\in(-\infty;-4]\cup[-2;+\infty)}. \]
06.9 а)
\[ \sqrt{\frac{x-1}{x}}>2. \]
Возводим в квадрат:
\[ \frac{x-1}{x}>4,\qquad x\ne0. \]
\[ \frac{x-1-4x}{x}>0 \]
\[ \frac{-3x-1}{x}>0 \Longleftrightarrow \frac{3x+1}{x}<0. \]
Критические точки:
\[ x=-\frac13,\qquad x=0. \]
Дробь отрицательна между ними:
\[ \boxed{x\in\left(-\frac13;0\right)}. \]
На этом промежутке подкоренное выражение больше \(4\), поэтому область допустимых значений соблюдается.
06.9 б)
\[ \sqrt{\frac{x+16}{x^2-x}}\ge3. \]
Так как \(x^2-x=x(x-1)\), имеем:
\[ \frac{x+16}{x(x-1)}\ge9, \qquad x\ne0,\;x\ne1. \]
Переносим всё в левую часть:
\[ \frac{x+16-9x(x-1)}{x(x-1)}\ge0, \]
\[ \frac{-9x^2+10x+16}{x(x-1)}\ge0. \]
Разложим числитель:
\[ -9x^2+10x+16=-(9x+8)(x-2). \]
Критические точки:
\[ -\frac89,\quad 0,\quad 1,\quad 2. \]
По знакам дробь неотрицательна на промежутках:
\[ \left[-\frac89;0\right)\quad\text{и}\quad(1;2]. \]
Точки \(-\frac89\) и \(2\) включаются, потому что там значение корня равно \(3\). Точки \(0\) и \(1\) исключаются: знаменатель равен нулю.
\[ \boxed{x\in\left[-\frac89;0\right)\cup(1;2]}. \]
Обсуждение
6 сообщенийВсегда возводим в квадрат? Объясни легко алгоритм
Нет, не всегда. Возводить в квадрат можно безопасно, когда обе части неотрицательны.
Алгоритм
Для неравенства
\[ \sqrt{A(x)}\ \square\ B(x) \]
- Запиши ОДЗ корня:
\[ A(x)\ge0. \]
- Посмотри на правую часть \(B(x)\):
- если \(B(x)\ge0\), можно возвести обе части в квадрат;
- если \(B(x)<0\), квадратировать нельзя — рассуждаем по знакам.
При \(B(x)\ge0\):
\[ \sqrt A<B \Longleftrightarrow A<B^2, \]
\[ \sqrt A\le B \Longleftrightarrow A\le B^2, \]
\[ \sqrt A>B \Longleftrightarrow A>B^2, \]
\[ \sqrt A\ge B \Longleftrightarrow A\ge B^2. \]
Затем не забываем про ОДЗ.
Если правая часть отрицательная
Так как
\[ \sqrt A\ge0, \]
то:
- \(\sqrt A<\text{отрицательное число}\) — решений нет;
- \(\sqrt A\le\text{отрицательное число}\) — решений нет;
- \(\sqrt A>\text{отрицательное число}\) — подходят все значения из ОДЗ;
- \(\sqrt A\ge\text{отрицательное число}\) — подходят все значения из ОДЗ.
Пример из задания
\[ \sqrt{\frac{x-1}{x}}>2. \]
Справа стоит положительное число \(2\), поэтому квадратировать можно:
\[ \frac{x-1}{x}>4. \]
Но сначала учитываем ОДЗ:
\[ \frac{x-1}{x}\ge0. \]
После решения неравенства и проверки по ОДЗ получаем:
\[ \boxed{x\in\left(-\frac13;0\right)}. \]
Почему нельзя всегда квадратировать?
Например:
\[ \sqrt{x}>-1. \]
ОДЗ:
\[ x\ge0. \]
Неравенство верно при любом \(x\ge0\), потому что корень неотрицателен. Если же сразу возвести в квадрат, получится
\[ x>1, \]
и мы потеряем правильные решения от \(0\) до \(1\).
Запомни коротко: сначала ОДЗ, потом проверяем знак правой части, и только при неотрицательной правой части возводим в квадрат.
Напиши просто где мы должны возводить а где нет в номерах
Возводим в квадрат во всех номерах:
- 06.7 а) — да
- 06.7 б) — да
- 06.8 а) — да
- 06.8 б) — да
- 06.9 а) — да
- 06.9 б) — да
Потому что справа везде стоят положительные числа. Сначала учитываем ОДЗ корня.
Это продолжение текущей учебной цели: тот же тип неравенств с корнем. В обоих пунктах справа положительные числа, поэтому после записи ОДЗ можно возвести в квадрат.
06.10 а)
\[ \sqrt{\frac{3x}{x-2}}\le1 \]
\[ 0\le\frac{3x}{x-2}\le1. \]
Из первого:
\[ \frac{3x}{x-2}\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\in(-\infty;0]\cup(2;+\infty). \]
Из второго:
\[ \frac{3x}{x-2}\le1 \quad\Rightarrow\quad \frac{2x+2}{x-2}\le0 \quad\Rightarrow\quad x\in[-1;2). \]
Пересечение:
\[ \boxed{x\in[-1;0]}. \]
06.10 б)
\[ \sqrt{\frac{9-x^2}{2x}}\le2 \]
\[ 0\le\frac{9-x^2}{2x}\le4. \]
Из условия существования корня:
\[ \frac{9-x^2}{2x}\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\in(-\infty;-3]\cup(0;3]. \]
Второе неравенство:
\[ \frac{9-x^2}{2x}\le4 \]
\[ \frac{9-x^2-8x}{2x}\le0 \]
\[ \frac{-(x+9)(x-1)}{2x}\le0 \quad\Rightarrow\quad x\in[-9;0)\cup[1;+\infty). \]
Пересечение:
\[ \boxed{x\in[-9;-3]\cup[1;3]}. \]
