Мисли дафтари хал кун мисоли 81,82
Краткий ответ
№81. Координаты вершин парабол
| Пункт | Вершина | Экстремум |
|---|---|---|
| а | \(V(-3;-5)\) | минимум \(-5\) |
| б | \(V(-1;-3)\) | максимум \(-3\) |
| в | \(V\left(-\frac12;-\frac{25}{4}\right)\) | минимум \(-\frac{25}{4}\) |
| г | \(V\left(\frac32;\frac{25}{8}\right)\) | максимум \(\frac{25}{8}\) |
| д | \(V(1;2)\) | минимум \(2\) |
| е | \(V\left(\frac32;-\frac32\right)\) | максимум \(-\frac32\) |
№82. Экстремумы функций
а) \(y_{\min}=-16\) при \(x=1\);
б) \(y_{\min}=0\) при \(x=-1\);
в) \(y_{\min}=-\frac12\) при \(x=-\frac12\);
г) \(y_{\max}=2\) при \(x=3\);
д) \(y_{\max}=3\) при \(x=1\);
е) \(y_{\max}=1\) при \(x=3\).
Правило
Для функции
\[ y=ax^2+bx+c \]
координата вершины по \(x\):
\[ x_0=-\frac{b}{2a}. \]
Затем подставляем \(x_0\) в функцию:
\[ y_0=f(x_0). \]
Если \(a>0\), то это минимум, а если \(a<0\), то максимум.
Решение №81
а) \(y=2x^2+12x+13\)
\[ a=2,\quad b=12,\quad c=13. \]
\[ x_0=-\frac{12}{2\cdot2}=-3. \]
\[ y_0=2\cdot(-3)^2+12\cdot(-3)+13 =18-36+13=-5. \]
\[ V(-3;-5),\qquad y_{\min}=-5. \]
б) \(y=-2x^2-4x-5\)
\[ a=-2,\quad b=-4,\quad c=-5. \]
\[ x_0=-\frac{-4}{2\cdot(-2)} =\frac4{-4}=-1. \]
\[ y_0=-2\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)-5 =-2+4-5=-3. \]
\[ V(-1;-3),\qquad y_{\max}=-3. \]
в) \(y=x^2+x-6\)
\[ a=1,\quad b=1,\quad c=-6. \]
\[ x_0=-\frac{1}{2\cdot1}=-\frac12. \]
\[ y_0=\left(-\frac12\right)^2-\frac12-6 =\frac14-\frac24-\frac{24}{4} =-\frac{25}{4}. \]
\[ V\left(-\frac12;-\frac{25}{4}\right),\qquad y_{\min}=-\frac{25}{4}. \]
г) \(y=-0{,}5x^2+1{,}5x+2\)
\[ a=-0{,}5,\quad b=1{,}5,\quad c=2. \]
\[ x_0=-\frac{1{,}5}{2\cdot(-0{,}5)} =\frac{3}{2}. \]
\[ y_0=-\frac12\cdot\left(\frac32\right)^2 +\frac32\cdot\frac32+2 \]
\[ y_0=-\frac98+\frac94+2 =-\frac98+\frac{18}{8}+\frac{16}{8} =\frac{25}{8}. \]
\[ V\left(\frac32;\frac{25}{8}\right),\qquad y_{\max}=\frac{25}{8}. \]
д) \(y=3x^2-6x+5\)
\[ a=3,\quad b=-6,\quad c=5. \]
\[ x_0=-\frac{-6}{2\cdot3}=1. \]
\[ y_0=3\cdot1^2-6\cdot1+5=3-6+5=2. \]
\[ V(1;2),\qquad y_{\min}=2. \]
е) \(y=-2x^2+6x-6\)
\[ a=-2,\quad b=6,\quad c=-6. \]
\[ x_0=-\frac{6}{2\cdot(-2)} =\frac32. \]
\[ y_0=-2\cdot\left(\frac32\right)^2 +6\cdot\frac32-6 \]
\[ y_0=-\frac92+9-6=-\frac32. \]
\[ V\left(\frac32;-\frac32\right),\qquad y_{\max}=-\frac32. \]
Решение №82
а) \(y=x^2-2x-15\)
\[ a=1,\quad b=-2. \]
\[ x_0=-\frac{-2}{2}=1. \]
\[ y_0=1^2-2\cdot1-15=-16. \]
Так как \(a>0\), это минимум:
\[ y_{\min}=-16\quad\text{при }x=1. \]
б) \(y=x^2+2x+1\)
\[ x_0=-\frac{2}{2}=-1. \]
\[ y_0=(-1)^2+2(-1)+1=0. \]
\[ y_{\min}=0\quad\text{при }x=-1. \]
в) \(y=2x^2+2x\)
\[ x_0=-\frac{2}{2\cdot2}=-\frac12. \]
\[ y_0=2\cdot\left(-\frac12\right)^2 +2\cdot\left(-\frac12\right) \]
\[ y_0=\frac12-1=-\frac12. \]
\[ y_{\min}=-\frac12\quad\text{при }x=-\frac12. \]
г) \(y=-x^2+6x-7\)
\[ x_0=-\frac{6}{2\cdot(-1)}=3. \]
\[ y_0=-3^2+6\cdot3-7=-9+18-7=2. \]
Так как \(a<0\), это максимум:
\[ y_{\max}=2\quad\text{при }x=3. \]
д) \(y=-2x^2+4x+1\)
\[ x_0=-\frac{4}{2\cdot(-2)}=1. \]
\[ y_0=-2\cdot1^2+4\cdot1+1=-2+4+1=3. \]
\[ y_{\max}=3\quad\text{при }x=1. \]
е) \(y=-3x^2+18x-26\)
\[ x_0=-\frac{18}{2\cdot(-3)}=3. \]
\[ y_0=-3\cdot3^2+18\cdot3-26 =-27+54-26=1. \]
\[ y_{\max}=1\quad\text{при }x=3. \]
Проверка: например,
\[ -x^2+6x-7=-(x-3)^2+2. \]
Так как \((x-3)^2\ge 0\), значение функции не больше \(2\). Значит, максимум действительно равен \(2\) при \(x=3\).
