Задача Задача №3713038
А
А
Реши задание на изображении
Краткий ответ
Действительные корни:
- \(x=\pm1,\ \pm2\)
- \(x=\pm1,\ \pm3\)
- \(x=\pm2,\ \pm3\)
- \(x=\pm3,\ \pm4\)
- \(x=\pm2\)
- \(x=\pm3\)
- \(x=\pm2,\ \pm\sqrt5\)
- \(x=\pm1,\ \pm\sqrt6\)
- \(x=\pm\sqrt3,\ \pm\sqrt5\)
- \(x=\pm\sqrt2,\ \pm\sqrt6\)
Как решать
Это биквадратные уравнения. Введём замену:
\[ t=x^2,\qquad t\ge 0. \]
Тогда \(x^4=t^2\), и каждое уравнение превращается в квадратное относительно \(t\).
| № | Уравнение после замены и разложение | Допустимые \(t\) | Корни \(x\) |
|---|---|---|---|
| 1 | \(t^2-5t+4=(t-1)(t-4)\) | \(1,4\) | \(\pm1,\pm2\) |
| 2 | \(t^2-10t+9=(t-1)(t-9)\) | \(1,9\) | \(\pm1,\pm3\) |
| 3 | \(t^2-13t+36=(t-4)(t-9)\) | \(4,9\) | \(\pm2,\pm3\) |
| 4 | \(t^2-25t+144=(t-9)(t-16)\) | \(9,16\) | \(\pm3,\pm4\) |
| 5 | \(t^2+2t-24=(t-4)(t+6)\) | \(4\) | \(\pm2\) |
| 6 | \(t^2+t-90=(t-9)(t+10)\) | \(9\) | \(\pm3\) |
| 7 | \(t^2-9t+20=(t-4)(t-5)\) | \(4,5\) | \(\pm2,\pm\sqrt5\) |
| 8 | \(t^2-7t+6=(t-1)(t-6)\) | \(1,6\) | \(\pm1,\pm\sqrt6\) |
| 9 | \(t^2-8t+15=(t-3)(t-5)\) | \(3,5\) | \(\pm\sqrt3,\pm\sqrt5\) |
| 10 | \(t^2-8t+12=(t-2)(t-6)\) | \(2,6\) | \(\pm\sqrt2,\pm\sqrt6\) |
В уравнениях №5 и №6 появляются отрицательные значения \(t=-6\) и \(t=-10\), но они не подходят, потому что \(t=x^2\ge0\).
Проверка: после подстановки \(t=x^2\) каждый найденный корень соответствует одному из нулевых множителей в таблице. Поэтому все корни верны, а других действительных корней нет.
