реши этот пример с объяснением
Исследование алгебраического выражения
Я пытаюсь разобраться с выражением: \((x^2 - 49y^2):(49y^2 + 14xy + x^2)\). Мне нужно решить его и объяснить все необходимые ограничения области определения. Здесь, по-видимому, есть некоторая неоднозначность в обозначении деления, особенно поскольку выражение выглядит написанным от руки и в некоторых местах не содержит скобок.
Следует уточнить смысл этого обозначения, поскольку оно может означать упрощение алгебраической дроби. Я начну с краткого ответа, а затем изложу основные шаги своего решения.
Краткий ответ:
\[ (x^2-49y^2):(49y^2+14xy+x^2) =\frac{x-7y}{x+7y}, \qquad x+7y\ne0. \]
Решение
Запишем деление как дробь:
\[ \frac{x^2-49y^2}{49y^2+14xy+x^2}. \]
Разложим числитель по формуле разности квадратов:
\[ x^2-49y^2=x^2-(7y)^2=(x-7y)(x+7y). \]
Знаменатель — полный квадрат:
\[ 49y^2+14xy+x^2 =x^2+14xy+49y^2 =(x+7y)^2. \]
Подставим:
\[ \frac{(x-7y)(x+7y)}{(x+7y)^2}. \]
Сокращаем общий множитель \(x+7y\):
\[ \boxed{\frac{x-7y}{x+7y}}. \]
Ограничение: \(x+7y\ne0\), потому что на ноль делить нельзя.
Проверка:
\[ \frac{x-7y}{x+7y}\cdot (x+7y)^2 =(x-7y)(x+7y)=x^2-49y^2. \]
