144 с решением
Ответ:
- \(x=4,\ 16\);
- \(x=100\);
- \(x=\dfrac14,\ 1\).
Во всех уравнениях есть \(\sqrt{x}\), поэтому \(x\ge 0\). Сделаем замену:
\[ t=\sqrt{x},\qquad t\ge 0,\qquad x=t^2. \]
1) \(x-6\sqrt{x}+8=0\)
\[ t^2-6t+8=0, \]
\[ (t-2)(t-4)=0. \]
Отсюда \(t=2\) или \(t=4\). Тогда:
\[ x=t^2:\qquad x=4\ \text{или}\ x=16. \]
Проверка: \(4-6\cdot2+8=0\), \(16-6\cdot4+8=0\).
2) \(x-5\sqrt{x}-50=0\)
\[ t^2-5t-50=0. \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-50)=225, \]
\[ t=\frac{5\pm15}{2}. \]
Получаем \(t=10\) или \(t=-5\). Так как \(t\ge0\), подходит только \(t=10\). Поэтому:
\[ x=10^2=100. \]
3) \(2x-3\sqrt{x}+1=0\)
\[ 2t^2-3t+1=0, \]
\[ (2t-1)(t-1)=0. \]
\[ t=\frac12\quad\text{или}\quad t=1. \]
Следовательно,
\[ x=\left(\frac12\right)^2=\frac14 \quad\text{или}\quad x=1. \]
Главный принцип: если в уравнении встречаются \(x\) и \(\sqrt{x}\), удобно заменить \(\sqrt{x}\) на \(t\), учитывая условие \(t\ge0\).
Обсуждение
2 сообщенияЧерез дискриминант
Решим через дискриминант. Сделаем замену:
\[ t=\sqrt{x},\qquad t\ge 0,\qquad x=t^2. \]
1) \(x-6\sqrt{x}+8=0\)
\[ t^2-6t+8=0. \]
\[ D=(-6)^2-4\cdot1\cdot8=36-32=4. \]
\[ t=\frac{6\pm\sqrt4}{2} =\frac{6\pm2}{2}. \]
\[ t_1=4,\qquad t_2=2. \]
Возвращаемся к \(x\):
\[ x_1=4^2=16,\qquad x_2=2^2=4. \]
\[ \boxed{x=4;\ 16} \]
2) \(x-5\sqrt{x}-50=0\)
\[ t^2-5t-50=0. \]
\[ D=(-5)^2-4\cdot1\cdot(-50)=25+200=225. \]
\[ t=\frac{5\pm\sqrt{225}}{2} =\frac{5\pm15}{2}. \]
\[ t_1=10,\qquad t_2=-5. \]
Так как \(t=\sqrt{x}\ge0\), \(t=-5\) не подходит.
\[ x=10^2=100. \]
\[ \boxed{x=100} \]
3) \(2x-3\sqrt{x}+1=0\)
\[ 2t^2-3t+1=0. \]
\[ D=(-3)^2-4\cdot2\cdot1=9-8=1. \]
\[ t=\frac{3\pm\sqrt1}{4} =\frac{3\pm1}{4}. \]
\[ t_1=1,\qquad t_2=\frac12. \]
\[ x_1=1^2=1,\qquad x_2=\left(\frac12\right)^2=\frac14. \]
\[ \boxed{x=1;\ \frac14} \]
