Весь первый вариант

Краткие ответы

1. Нужно построить две параллельные прямые \(AB\) и \(EF\), пересечённые перпендикулярной прямой \(CD\):

             C
             │
        E────N────F
             │
        A────M────B
             │
             D
   

2. \(x=38^\circ\).
3. \(12^\circ\) и \(102^\circ\).
4. \(\angle B<\angle C<\angle A\).
5. \(6\pi\text{ см}\approx18{,}84\text{ см}\).
6. \(\alpha=146^\circ\).
7. Треугольник равнобедренный.

Решение

1. Построение

• Проведём \(AB\).
• Через точку \(M\) проведём перпендикуляр \(CD\).
• На \(CD\) выберем точку \(N\).
• Через \(N\) проведём \(EF\parallel AB\).

Тогда: \[ AB\cap CD=\{M\},\qquad EF\cap CD=\{N\},\qquad MN\perp AB. \]

---

2. Вычисление \(x\)

Обозначим точку пересечения двух внутренних отрезков через \(O\). Получается четырёхугольник с углами:

\[ 90^\circ,\quad 142^\circ,\quad 90^\circ,\quad x. \]

Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\):

\[ x+90^\circ+142^\circ+90^\circ=360^\circ, \]

\[ x=360^\circ-322^\circ=38^\circ. \]

Ответ: \[ \boxed{x=38^\circ}. \]

Проверка: \[ 38^\circ+90^\circ+142^\circ+90^\circ=360^\circ. \]

---

3. Дополнительные углы

До \(90^\circ\):

\[ 90^\circ-78^\circ=12^\circ. \]

До \(180^\circ\):

\[ 180^\circ-78^\circ=102^\circ. \]

Ответ: \[ \boxed{12^\circ;\ 102^\circ}. \]

Проверка: \[ 78^\circ+12^\circ=90^\circ,\qquad 78^\circ+102^\circ=180^\circ. \]

---

4. Порядок углов

Так как \(AB>0\), из условия получаем:

\[ \frac{AC}{AB}<0{,}7<1 \quad\Rightarrow\quad AC<AB, \]

\[ \frac{BC}{AB}>1{,}1>1 \quad\Rightarrow\quad BC>AB. \]

Значит, стороны расположены так:

\[ AC<AB<BC. \]

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол:

• стороне \(AC\) противостоит \(\angle B\);
• стороне \(AB\) противостоит \(\angle C\);
• стороне \(BC\) противостоит \(\angle A\).

Ответ: \[ \boxed{\angle B<\angle C<\angle A}. \]

---

5. Длина дуги

Формула длины дуги:

\[ l=\frac{\pi R\alpha}{180^\circ}. \]

Подставим \(R=27\text{ см}\), \(\alpha=40^\circ\):

\[ l=\frac{\pi\cdot27\cdot40}{180} =6\pi\text{ см}. \]

При \(\pi\approx3{,}14\):

\[ l\approx6\cdot3{,}14=18{,}84\text{ см}. \]

Ответ: \[ \boxed{6\pi\text{ см}\approx18{,}84\text{ см}}. \]

---

6. Угол \(\alpha\)

Угол \(73^\circ\) — вписанный, а \(\alpha\) — центральный. Они опираются на одну и ту же дугу.

Центральный угол в два раза больше вписанного:

\[ \alpha=2\cdot73^\circ=146^\circ. \]

Ответ: \[ \boxed{\alpha=146^\circ}. \]

---

7. Доказательство

Пусть прямоугольный треугольник имеет один острый угол \(45^\circ\). Тогда третий угол равен:

\[ 180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ. \]

Значит, два угла треугольника равны:

\[ 45^\circ=45^\circ. \]

Против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, две стороны треугольника равны, то есть треугольник равнобедренный. В данном случае равны его катеты.