Реши задание на изображении

Краткий ответ:

а) \(AM\) — биссектриса угла \(BAC\).

б) \[ S_{AMBD}=\frac{336}{5}=67{,}2 \] кв. ед.

Решение

а) Доказательство

Так как \(AB=AD\), треугольник \(ABD\) равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

\[ \angle ABD=\angle BDA. \]

Поскольку \(AM\parallel BD\), а точки \(C,A,D\) лежат на одной прямой, то

\[ \angle BAM=\angle ABD, \qquad \angle MAC=\angle BDA. \]

Следовательно,

\[ \angle BAM=\angle MAC. \]

Значит, \(AM\) — биссектриса угла \(BAC\).

б) Площадь трапеции

Пусть

\[ AB=AD=4x,\qquad AC=5x. \]

Тогда

\[ CD=CA+AD=5x+4x=9x. \]

Так как \(AM\parallel BD\), треугольники \(ACM\) и \(DCB\) подобны. Поэтому

\[ \frac{CM}{CB}=\frac{AC}{CD}=\frac{5}{9}. \]

Тогда

\[ \frac{BM}{BC}=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}. \]

Треугольники \(ABM\) и \(ABC\) имеют общую высоту к прямой \(BC\), значит:

\[ S_{ABM}=S_{ABC}\cdot\frac{BM}{BC} =54\cdot\frac49=24. \]

Также треугольники \(ABD\) и \(ABC\) имеют общую высоту к прямой \(AC\), поэтому

\[ \frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{AD}{AC}=\frac45. \]

Следовательно,

\[ S_{ABD}=54\cdot\frac45=\frac{216}{5}. \]

Диагональ \(AB\) делит трапецию \(AMBD\) на треугольники \(ABM\) и \(ABD\):

\[ S_{AMBD}=S_{ABM}+S_{ABD} =24+\frac{216}{5} =\frac{336}{5}=67{,}2. \]

Проверка:

\[ \frac{S_{AMBD}}{S_{ABC}} =\frac49+\frac45 =\frac{56}{45}, \qquad 54\cdot\frac{56}{45}=\frac{336}{5}. \]