Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Объяснение свойства нулевого произведения
Я хочу прояснить свойство нулевого произведения. Возможно, мне не понадобится формула дискриминанта, поскольку здесь всё выглядит достаточно просто. Я напишу краткий ответ на русском языке.
Сначала для решения я ищу два числа, произведение которых равно 6, а сумма — 5: это 2 и 3. Я должен переписать это в виде \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\). Затем я проверю оба числа, чтобы убедиться, что они подходят.
Далее я могу объяснить, что для уравнений вида \(x^2 - Sx + P = 0\) мы находим числа, сумма которых равна S, а произведение — P. Наконец, мне нужно предложить пользователю похожее уравнение для решения.
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Решение:
Ищем два числа, которые:
- в произведении дают \(6\);
- в сумме дают \(5\).
Это числа \(2\) и \(3\). Поэтому разложим выражение на множители:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3). \]
Получаем:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2; \]
\[ x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0; \]
\[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Оба значения являются корнями уравнения.
