Қазақша білесіңба

2.64*. Дәлелдеу

\(\triangle ABC\) және \(\triangle A'B'C'\) берілсін. Олардың сәйкес медианалары \(AD\) және \(A'D'\) болсын:

\[ AD=A'D', \]

мұндағы \(D\) және \(D'\) — сәйкесінше \(BC\) және \(B'C'\) қабырғаларының орталары. Сонымен қатар:

\[ \angle BAD=\angle B'A'D', \qquad \angle DAC=\angle D'A'C'. \]

\(AD\) сәулесінің бойынан \(E\) нүктесін \(D\)-ден әрі алып,

\[ DE=AD \]

болатындай етіп белгілейік. Сонда \(D\) — \(AE\) кесіндісінің ортасы. Ал \(D\) нүктесі \(BC\) кесіндісінің де ортасы болғандықтан, \(ABEC\) төртбұрышы — параллелограмм.

Олай болса:

\[ BE\parallel AC,\qquad BE=AC. \]

Дәл осылай \(A'B'E'C'\) — параллелограмм, сондықтан:

\[ B'E'\parallel A'C',\qquad B'E'=A'C'. \]

Енді:

\[ AE=2AD=2A'D'=A'E', \]

\[ \angle BAE=\angle BAD=\angle B'A'D'=\angle B'A'E', \]

ал параллель түзулерден:

\[ \angle AEB=\angle DAC=\angle D'A'C'=\angle A'E'B'. \]

Демек,

\[ \triangle ABE=\triangle A'B'E' \]

(екі бұрыш және олардың арасындағы қабырға бойынша).

Сондықтан:

\[ AB=A'B',\qquad BE=B'E'. \]

Ал \(BE=AC\), \(B'E'=A'C'\), демек:

\[ AB=A'B',\qquad AC=A'C'. \]

Сонымен қатар:

\[ \angle BAC=\angle BAD+\angle DAC =\angle B'A'D'+\angle D'A'C' =\angle B'A'C'. \]

Екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы тең болғандықтан,

\[ \boxed{\triangle ABC=\triangle A'B'C'}. \]

2.64-есеп

Берілгені:
\(\triangle ABC\) және \(\triangle A'B'C'\) үшбұрыштарында \(AD\) және \(A'D'\) — медианалар.

\[ AD=A'D', \]

\[ \angle BAD=\angle B'A'D', \]

\[ \angle DAC=\angle D'A'C'. \]

Дәлелдеу керек:

\[ \triangle ABC=\triangle A'B'C'. \]

Дәлелдеуі:

\(AD\) сәулесінің бойынан \(E\) нүктесін алып, \(D\) нүктесі \(AE\) кесіндісінің ортасы болатындай етіп орналастырайық. Яғни:

\[ DE=AD. \]

\(AD\) — медиана болғандықтан, \(D\) — \(BC\) кесіндісінің ортасы. Сонымен, \(D\) нүктесі әрі \(AE\), әрі \(BC\) кесінділерінің ортасы болады. Сондықтан \(ABEC\) төртбұрышының диагональдары бір-бірін қақ бөледі. Демек, \(ABEC\) — параллелограмм.

Олай болса:

\[ BE=AC,\qquad BE\parallel AC. \]

Дәл осылай \(A'D'\) сәулесінің бойынан \(E'\) нүктесін алып, \(D'E'=A'D'\) деп белгілесек, \(A'B'E'C'\) — параллелограмм болады. Сондықтан:

\[ B'E'=A'C',\qquad B'E'\parallel A'C'. \]

Енді:

\[ AE=AD+DE=2AD, \]

\[ A'E'=A'D'+D'E'=2A'D'. \]

Ал \(AD=A'D'\) болғандықтан:

\[ AE=A'E'. \]

Сонымен қатар, \(E\) нүктесі \(AD\) сәулесінде жатқандықтан:

\[ \angle BAE=\angle BAD. \]

Ал \(BE\parallel AC\) болғандықтан:

\[ \angle AEB=\angle DAC. \]

Сол сияқты:

\[ \angle B'A'E'=\angle B'A'D', \]

\[ \angle A'E'B'=\angle D'A'C'. \]

Берілген шарт бойынша:

\[ \angle BAE=\angle B'A'E', \]

\[ \angle AEB=\angle A'E'B', \]

\[ AE=A'E'. \]

Демек,

\[ \triangle ABE=\triangle A'B'E' \]

(екі бұрышы және олардың арасындағы қабырғасы бойынша).

Сондықтан:

\[ AB=A'B',\qquad BE=B'E'. \]

Ал \(BE=AC\), \(B'E'=A'C'\), демек:

\[ AB=A'B',\qquad AC=A'C'. \]

Үшбұрыштардың \(A\) және \(A'\) төбелеріндегі бұрыштары:

\[ \angle BAC=\angle BAD+\angle DAC, \]

\[ \angle B'A'C'=\angle B'A'D'+\angle D'A'C'. \]

Берілген теңдіктерге сәйкес:

\[ \angle BAC=\angle B'A'C'. \]

Олай болса, екі қабырғасы және олардың арасындағы бұрышы бойынша:

\[ \boxed{\triangle ABC=\triangle A'B'C'}. \]