Реши задание на изображении
Анализ математических задач на русском языке
Мне нужно решить ряд математических задач, внимательно проверяя каждый шаг. Первая задача — сократить дробь \( \frac{18m^6 n}{27m^4 n^3} \). Далее я рассматриваю выражение \( \frac{q^2 -49}{q^2 -14q+49} \). Затем мне нужно выполнить действия с дробями, например \( \frac{9}{w} - \frac{4}{w} \), и сложить \( \frac{6u}{u+7} + \frac{42}{u+7} \). Я тщательно проработаю эти действия, отмечая ограничения, когда это необходимо, особенно для знаменателей.
Пошаговое упрощение выражений
Мне нужно выполнить действия и упростить выражение \(\left(\frac{t}{t-3}+\frac{t}{t+3}\right)\cdot \frac{t^2-9}{6t}\). Сначала я выполню сложение внутри скобок, что даст \(\frac{t[(t+3)+(t-3)]}{t^2-9} = \frac{2t^2}{t^2-9}\). Затем я умножу это на \(\frac{t^2-9}{6t}\), получив \(\frac{2t^2}{6t} = \frac{t}{3}\), при этом отмечу ограничения: \(t \neq 3, -3, 0\). Я проверю, что сокращение допустимо при этих ограничениях.
Упрощение дробного выражения
Я рассматриваю выражение \(\frac{w}{w-6}+\frac{36}{(w-6)(w+6)}\). Я вижу, что мне нужно найти общий знаменатель. Это приводит к числителю, в котором я объединяю \(w(w+6) + 36\). Сокращение здесь невозможно, поскольку числитель не содержит множителей \(w \pm 6\). Я хочу убедиться, что обрабатываю это правильно и точно. Давайте не будем усложнять!
Краткие ответы
а) \(\displaystyle \frac{2m^2}{3n^2}\), \(m\ne0,\ n\ne0\);
б) \(\displaystyle \frac{q+7}{q-7}\), \(q\ne7\).а) \(\displaystyle \frac5w\), \(w\ne0\);
б) \(6\), \(u\ne-7\).\(\displaystyle \frac{3}{10v}\), \(v\ne0\).
\(\displaystyle \frac{w^2+6w+36}{w^2-36}\), \(w\ne6,\ w\ne-6\).
\(\displaystyle \frac t3\), \(t\ne0,\ t\ne3,\ t\ne-3\).
Решение
1. Сокращение дробей
а)
\[ \frac{18m^6n}{27m^4n^3} =\frac{18}{27}\cdot\frac{m^6}{m^4}\cdot\frac{n}{n^3} =\frac23\cdot m^2\cdot\frac1{n^2} =\frac{2m^2}{3n^2}. \]
б) Используем формулы разности квадратов и квадрата разности:
\[ q^2-49=(q-7)(q+7), \]
\[ q^2-14q+49=(q-7)^2. \]
Тогда
\[ \frac{q^2-49}{q^2-14q+49} =\frac{(q-7)(q+7)}{(q-7)^2} =\frac{q+7}{q-7}. \]
2. Сложение и вычитание дробей
а) Знаменатели одинаковые, поэтому вычитаем числители:
\[ \frac9w-\frac4w=\frac{9-4}{w}=\frac5w. \]
б)
\[ \frac{6u}{u+7}+\frac{42}{u+7} =\frac{6u+42}{u+7}. \]
Выносим \(6\) за скобки:
\[ \frac{6u+42}{u+7} =\frac{6(u+7)}{u+7}=6. \]
3. Общий знаменатель
Общий знаменатель для \(5v\) и \(10v\) — \(10v\):
\[ \frac2{5v}-\frac1{10v} =\frac4{10v}-\frac1{10v} =\frac3{10v}. \]
4. Упрощение выражения
Разложим разность квадратов:
\[ w^2-36=(w-6)(w+6). \]
Приведём дроби к общему знаменателю:
\[ \frac{w}{w-6}+\frac{36}{w^2-36} = \frac{w(w+6)}{(w-6)(w+6)} +\frac{36}{(w-6)(w+6)}. \]
Складываем числители:
\[ \frac{w(w+6)+36}{w^2-36} = \frac{w^2+6w+36}{w^2-36}. \]
Дальше сократить дробь нельзя: в числителе нет множителей \(w-6\) или \(w+6\).
5. Действия с выражением
Сначала выполним действие в скобках:
\[ \frac{t}{t-3}+\frac{t}{t+3} = \frac{t(t+3)+t(t-3)}{(t-3)(t+3)}. \]
Раскрываем скобки:
\[ \frac{t^2+3t+t^2-3t}{t^2-9} = \frac{2t^2}{t^2-9}. \]
Теперь умножаем:
\[ \frac{2t^2}{t^2-9}\cdot\frac{t^2-9}{6t} = \frac{2t^2}{6t} = \frac t3. \]
Сокращение выполнено верно, так как \(t\ne0,\ t\ne3,\ t\ne-3\).
Главное правило: сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые.
