Реши 449

Краткий ответ: нет, не всегда.

Пусть даны три различные точки \(A\), \(B\), \(C\).

1. Соединим \(A\) с \(B\) и \(A\) с \(C\).
2. Проведём серединные перпендикуляры к отрезкам \(AB\) и \(AC\).
3. Если точки \(A\), \(B\), \(C\) не лежат на одной прямой, эти перпендикуляры пересекутся в точке \(O\).
4. Проведём окружность с центром \(O\) и радиусом \(OA\).

Так как точка \(O\) лежит на серединных перпендикулярах, то

\[ OA=OB=OC, \]

значит, окружность проходит через все три точки. Решение в этом случае единственное.

Если же три точки лежат на одной прямой, окружность через них провести нельзя: прямая может пересекать окружность не более чем в двух точках.

Итог: окружность существует и единственна, если три точки не лежат на одной прямой; если лежат — решения нет.