Реши задание на изображении

Правильная формулировка теоремы косинусов:

\[ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A, \]

где \(a\) — сторона, лежащая напротив угла \(A\), а \(b\) и \(c\) — стороны, образующие этот угол.

В предыдущем решении я мог неверно сопоставить стороны с углом. Укажи номер задания, где ошибка, или пришли фрагмент изображения — исправлю именно его.

Во 2-м задании используем теорему косинусов с правильным знаком:

\[ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C. \]

Пусть стороны параллелограмма равны \(10\) и \(16\), а тупой угол \(\alpha\) таков, что

\[ \cos\alpha=-0{,}6. \]

1. Площадь

\[ \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8. \]

\[ S=ab\sin\alpha=10\cdot16\cdot0{,}8=128. \]

2. Диагональ, лежащая напротив угла \(\alpha\)

\[ d_1^2=10^2+16^2-2\cdot10\cdot16\cos\alpha. \]

\[ d_1^2=100+256-320(-0{,}6)=548, \]

\[ d_1=\sqrt{548}=2\sqrt{137}. \]

3. Вторая диагональ

Соседний угол равен \(180^\circ-\alpha\), поэтому

\[ \cos(180^\circ-\alpha)=0{,}6. \]

Тогда

\[ d_2^2=10^2+16^2-2\cdot10\cdot16\cdot0{,}6 =356-192=164, \]

\[ d_2=\sqrt{164}=2\sqrt{41}. \]

Ответ:

\[ \boxed{S=128,\qquad d_1=2\sqrt{137},\qquad d_2=2\sqrt{41}}. \]

Для №3 получилось \(x=5\). Проверим это по теореме синусов.

Обозначим стороны и противоположные им углы:

\[ a=3,\qquad b=x,\qquad c=7,\qquad C=120^\circ. \]

По теореме синусов:

\[ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}. \]

Так как \(c=7\) и \(C=120^\circ\), то

\[ 2R=\frac{7}{\sin120^\circ} =\frac{7}{\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{14}{\sqrt3}. \]

Для стороны \(a=3\):

\[ \sin A=\frac{3}{2R} =\frac{3\sqrt3}{14}. \]

Тогда

\[ \cos A=\sqrt{1-\sin^2 A} =\sqrt{1-\frac{27}{196}} =\frac{13}{14}. \]

Поскольку

\[ A+B=180^\circ-120^\circ=60^\circ, \]

получаем:

\[ \sin B=\sin(60^\circ-A) \]

\[ =\sin60^\circ\cos A-\cos60^\circ\sin A \]

\[ =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{13}{14} -\frac12\cdot\frac{3\sqrt3}{14} =\frac{5\sqrt3}{14}. \]

Теперь найдём неизвестную сторону:

\[ x=2R\sin B =\frac{14}{\sqrt3}\cdot\frac{5\sqrt3}{14}=5. \]

Проверка подтверждает:

\[ \boxed{x=5}. \]

Да, коротко.

В №3: сторона \(7\) лежит напротив угла \(120^\circ\), другая сторона равна \(3\), третья — \(x\).

Пусть углы напротив сторон \(3\) и \(x\) равны \(A\) и \(B\). Тогда:

\[ A+B=180^\circ-120^\circ=60^\circ. \]

По теореме синусов:

\[ \frac{3}{\sin A}=\frac{7}{\sin120^\circ} \]

\[ \sin A=\frac{3\sin120^\circ}{7} =\frac{3\sqrt3}{14}, \qquad \cos A=\frac{13}{14}. \]

Тогда

\[ \sin B=\sin(60^\circ-A) \]

\[ =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{13}{14} -\frac12\cdot\frac{3\sqrt3}{14} =\frac{5\sqrt3}{14}. \]

Снова по теореме синусов:

\[ \frac{x}{\sin B}=\frac{7}{\sin120^\circ}. \]

\[ x=\frac{7\cdot\frac{5\sqrt3}{14}}{\frac{\sqrt3}{2}}=5. \]

\[ \boxed{x=5} \]

№7 другим способом — по теореме Стюарта

Пусть третья сторона равна \(x\). Медиана делит её пополам, поэтому каждый отрезок равен \(\frac{x}{2}\).

По теореме Стюарта:

\[ 11^2\cdot\frac{x}{2}+23^2\cdot\frac{x}{2} = x\left(10^2+\frac{x}{2}\cdot\frac{x}{2}\right). \]

Подставим значения:

\[ 121\cdot\frac{x}{2}+529\cdot\frac{x}{2} = x\left(100+\frac{x^2}{4}\right). \]

\[ 325x=100x+\frac{x^3}{4}. \]

Делим на \(x\neq0\):

\[ 325=100+\frac{x^2}{4}. \]

\[ \frac{x^2}{4}=225, \qquad x^2=900. \]

Так как длина положительна,

\[ \boxed{x=30}. \]

Понял. Решим №7 только по теореме косинусов.

Пусть третья сторона равна \(x\). Медиана \(10\) делит её на два равных отрезка:

\[ \frac{x}{2}\quad\text{и}\quad\frac{x}{2}. \]

Обозначим угол между медианой и одним из этих отрезков через \(\alpha\). Второй угол равен \(180^\circ-\alpha\).

Для первого треугольника:

\[ 11^2=10^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2 -2\cdot10\cdot\frac{x}{2}\cos\alpha. \]

Для второго:

\[ 23^2=10^2+\left(\frac{x}{2}\right)^2 -2\cdot10\cdot\frac{x}{2}\cos(180^\circ-\alpha). \]

Так как

\[ \cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha, \]

при сложении уравнений слагаемые с косинусом уничтожаются:

\[ 11^2+23^2=2\cdot10^2+2\left(\frac{x}{2}\right)^2. \]

\[ 121+529=200+\frac{x^2}{2}. \]

\[ 650-200=\frac{x^2}{2}, \]

\[ 450=\frac{x^2}{2}, \qquad x^2=900. \]

Длина стороны положительна:

\[ \boxed{x=30}. \]