Реши

Краткие ответы:

1. До вершины \(B\) — 5, до вершины \(C\) — 4.
2. \(\angle ABC=\boxed{115^\circ}\).
3. Можно нарисовать: квадрат, правильный шестиугольник, правильный восьмиугольник.
4. Нет, пятиугольник не может иметь центр симметрии.

1. Расстояния до \(B\) и \(C\)

Обозначим полученную точку через \(D\). Так как:

• \(AM=MD\), значит \(M\) — середина \(AD\);
• \(AM\) — медиана, значит \(M\) — середина \(BC\).

При центральной симметрии относительно точки \(M\):

• \(A\) переходит в \(D\);
• \(B\) переходит в \(C\).

Поэтому соответствующие расстояния равны:

\[ DB=AC=5, \]

\[ DC=AB=4. \]

2. Угол \(ABC\)

Продолжим медиану \(BM\) за точку \(M\) до точки \(D\) так, чтобы

\[ MD=BM. \]

Так как \(M\) — середина \(AC\) и \(BD\), диагонали \(AC\) и \(BD\) четырёхугольника \(ABCD\) делятся пополам. Значит, \(ABCD\) — параллелограмм.

По условию:

\[ AB=2BM. \]

А так как \(BD=BM+MD=2BM\), то

\[ AB=BD. \]

Треугольник \(ABD\) равнобедренный, а

\[ \angle ABD=\angle ABM=50^\circ. \]

Тогда его остальные углы:

\[ \angle BAD=\angle ADB= \frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ. \]

В параллелограмме соседние углы supplementary:

\[ \angle ABC=180^\circ-65^\circ=115^\circ. \]

3. Фигуры с центром симметрии

Нарисуй:

• квадрат;
• правильный шестиугольник;
• правильный восьмиугольник.

Их центр симметрии находится в центре фигуры: поворот на \(180^\circ\) вокруг этой точки переводит фигуру саму в себя.

4. Может ли пятиугольник иметь центр симметрии?

Нет. При центральной симметрии вершины должны разбиваться на пары. Поэтому число вершин должно быть чётным, а у пятиугольника оно нечётное.