109, 110 с решением

Краткий ответ

109.

• а) \(\frac{5}{9}\)
• б) \(\frac{5}{18}\)
• в) \(\frac{5}{54}\)
• г) \(\frac{5}{324}\)
• д) \(0\)

110.

• а) \(21\) перчатка;
• б) \(5\) перчаток.

109. Решение

У игральной кости 6 граней. Чтобы все \(n\) результатов были различными:

• первый бросок — любой: \(\frac{6}{6}\);
• второй — один из оставшихся 5 результатов: \(\frac{5}{6}\);
• третий — один из оставшихся 4 результатов и т. д.

Поэтому

\[ P_n=\frac{6\cdot5\cdot4\cdots(6-n+1)}{6^n}. \]

а) \(n=3\):

\[ P=\frac{6\cdot5\cdot4}{6^3} =\frac{120}{216} =\frac{5}{9}. \]

б) \(n=4\):

\[ P=\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3}{6^4} =\frac{360}{1296} =\frac{5}{18}. \]

в) \(n=5\):

\[ P=\frac{6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2}{6^5} =\frac{720}{7776} =\frac{5}{54}. \]

г) \(n=6\):

\[ P=\frac{6!}{6^6} =\frac{720}{46656} =\frac{5}{324}. \]

д) \(n=7\):

У кости только 6 различных результатов, поэтому получить 7 различных результатов невозможно:

\[ P=0. \]

110. Решение

а) Наверняка

В худшем случае можно сначала достать все 20 перчаток одного вида. Следующая, 21-я перчатка обязательно окажется другого вида.

\[ \boxed{21\text{ перчатка}} \]

б) С вероятностью не меньше \(0{,}95\)

Удобнее найти вероятность противоположного события: все вынутые перчатки окажутся только левыми или только правыми.

Для \(k\) перчаток:

\[ P(\text{все одного вида}) = \frac{2\binom{20}{k}}{\binom{40}{k}}. \]

Тогда

\[ P(\text{есть левая и правая}) = 1-\frac{2\binom{20}{k}}{\binom{40}{k}}. \]

Проверим \(k=4\):

\[ P=1-\frac{2\binom{20}{4}}{\binom{40}{4}} \approx 0{,}894<0{,}95. \]

Четырёх перчаток недостаточно.

Проверим \(k=5\):

\[ P=1-\frac{2\binom{20}{5}}{\binom{40}{5}} = 1-\frac{2\cdot15504}{658008} \approx 0{,}953>0{,}95. \]

Значит, минимальное количество:

\[ \boxed{5\text{ перчаток}}. \]