конспект шестой класс по математике по теме наибольший общий делитель взаимного простого числа

Краткий ответ:
НОД двух чисел — это их наибольший общий делитель.
Если \(\operatorname{НОД}(a,b)=1\), то числа \(a\) и \(b\) называются взаимно простыми.

Конспект

1. Делитель и общий делитель

Число \(d\) является делителем числа \(a\), если \(a\) делится на \(d\) без остатка.

Например, делители числа \(12\):

\[ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12. \]

Общие делители двух чисел — это делители, которые подходят обоим числам.

2. Наибольший общий делитель

НОД — наибольшее число, на которое делятся оба данных числа.

Обозначение:

\[ \operatorname{НОД}(a,b). \]

Пример:

\[ \operatorname{НОД}(12,18)=6, \]

потому что общие делители чисел \(12\) и \(18\) — это \(1,2,3,6\), а самый большой из них — \(6\).

3. Как найти НОД разложением на простые множители

Алгоритм:

1. Разложить оба числа на простые множители.
2. Выбрать общие множители.
3. Если одинаковые множители повторяются, взять их в наименьшей степени.
4. Перемножить выбранные множители.

Пример:

\[ 18=2\cdot3^2, \]

\[ 30=2\cdot3\cdot5. \]

Общие множители: \(2\) и \(3\).

\[ \operatorname{НОД}(18,30)=2\cdot3=6. \]

Проверка:

\[ 18:6=3,\qquad 30:6=5. \]

Значит, \(6\) делит оба числа.

4. Взаимно простые числа

Взаимно простые числа — это два или несколько натуральных чисел, у которых НОД равен \(1\).

\[ \operatorname{НОД}(a,b)=1. \]

Примеры:

\[ \operatorname{НОД}(8,15)=1, \]

значит, \(8\) и \(15\) — взаимно простые числа.

\[ \operatorname{НОД}(14,25)=1, \]

значит, \(14\) и \(25\) — взаимно простые числа.

Важно: взаимно простые числа не обязательно должны быть простыми по отдельности. Например, \(8\) и \(15\) — составные числа, но они взаимно простые.

5. Полезные свойства НОД

• \(\operatorname{НОД}(a,1)=1\);
• если \(a\) делится на \(b\), то
  \[ \operatorname{НОД}(a,b)=b; \]
• если \(\operatorname{НОД}(a,b)=1\), числа взаимно простые;
• НОД не может быть больше меньшего из двух чисел.

Главное запомнить

\[ \boxed{\text{Взаимно простые числа имеют НОД, равный }1.} \]