Сделай картинки к задачам и реши их
Краткий ответ:
\(P=36\text{ см}\);
\(\angle A=\angle C=60^\circ\), \(\angle B=\angle D=120^\circ\).\(AB=CD=6\text{ см}\), \(BC=AD=12\text{ см}\).
1. Параллелограмм \(ABCD\)
Схема, не в масштабе:
B──────────────C
/│ /
/ │ /
A──K───────────D
│
│ BK ⟂ AD
AK = 4 см, KD = 6 см
Решение
Так как \(K\) лежит на стороне \(AD\),
\[ AD=AK+KD=4+6=10\text{ см}. \]
Треугольник \(ABK\) прямоугольный, потому что \(BK\perp AD\).
Угол \(\angle ABK=30^\circ\), а \(AK=4\text{ см}\).
Используем синус:
\[ \sin 30^\circ=\frac{AK}{AB}. \]
\[ \frac12=\frac{4}{AB} \quad\Rightarrow\quad AB=8\text{ см}. \]
Периметр параллелограмма:
\[ P=2(AB+AD)=2(8+10)=36\text{ см}. \]
В треугольнике \(ABK\):
\[ \angle BAK=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]
Так как лучи \(AK\) и \(AD\) совпадают,
\[ \angle A=\angle BAD=60^\circ. \]
В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\):
\[ \angle C=60^\circ,\qquad \angle B=\angle D=120^\circ. \]
Проверка:
\[ P=2(8+10)=36\text{ см}. \]
2. Прямоугольник \(ABCD\)
Схема:
A────────B
│ \ │
│ \ M
│ \ /│
D────────C
M — середина BC, MA ⟂ MD
Пусть
\[ AB=CD=x,\qquad BC=AD=y. \]
Так как \(M\) — середина стороны \(BC\),
\[ BM=CM=\frac y2. \]
В прямоугольных треугольниках \(ABM\) и \(DCM\) по теореме Пифагора:
\[ AM^2=x^2+\left(\frac y2\right)^2, \]
\[ DM^2=x^2+\left(\frac y2\right)^2. \]
Так как \(MA\perp MD\), треугольник \(AMD\) прямоугольный:
\[ AD^2=AM^2+DM^2. \]
Подставим \(AD=y\):
\[ y^2= \left(x^2+\frac{y^2}{4}\right)+ \left(x^2+\frac{y^2}{4}\right). \]
\[ y^2=2x^2+\frac{y^2}{2}, \]
\[ \frac{y^2}{2}=2x^2, \qquad y^2=4x^2. \]
Так как стороны положительны,
\[ y=2x. \]
Периметр прямоугольника равен \(36\text{ см}\):
\[ 2(x+y)=36, \]
\[ x+y=18. \]
Подставим \(y=2x\):
\[ x+2x=18, \qquad 3x=18, \qquad x=6\text{ см}. \]
\[ y=2\cdot6=12\text{ см}. \]
Проверка:
\[ 2(6+12)=36\text{ см}. \]
Итак,
\[ \boxed{AB=CD=6\text{ см}},\qquad \boxed{BC=AD=12\text{ см}}. \]
