Можешь пожалуйста объяснить потом провести мне тест и объяснить сложные задания по теме Степень с натуральным показателем, её свойства и тд
Кратко: степень \(a^n\) — это произведение \(n\) одинаковых множителей \(a\):
\[ a^n=\underbrace{a\cdot a\cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ раз}} \]
Например:
\[ 3^4=3\cdot3\cdot3\cdot3=81. \]
Основные свойства степеней
- Умножение степеней с одинаковым основанием
\[ a^m\cdot a^n=a^{m+n} \]
Пример:
\[ x^3\cdot x^5=x^8. \]
- Деление степеней с одинаковым основанием
\[ a^m:a^n=a^{m-n},\qquad a\ne0,\ m\ge n \]
Пример:
\[ y^7:y^2=y^5. \]
- Возведение степени в степень
\[ (a^m)^n=a^{mn} \]
Пример:
\[ (x^2)^4=x^8. \]
- Степень произведения
\[ (ab)^n=a^n b^n \]
Пример:
\[ (2x)^3=2^3x^3=8x^3. \]
- Степень дроби
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n},\qquad b\ne0 \]
Пример:
\[ \left(\frac{x}{3}\right)^2=\frac{x^2}{9}. \]
Важные ошибки
Показатели не складываются при сложении:
\[ x^2+x^3\ne x^5. \]
Также:
\[ (a+b)^2\ne a^2+b^2. \]
Следи за скобками:
\[ (-2)^4=16,\qquad -2^4=-16. \]
В первом выражении минус входит в основание степени, а во втором — нет.
Как решать сложные примеры
Например:
\[ \frac{(2x^2)^3\cdot x}{4x^2} \]
Раскрываем степень произведения:
\[ \frac{2^3x^6\cdot x}{4x^2} \]
Сначала считаем числа, затем степени \(x\):
\[ \frac{8x^7}{4x^2}=2x^5,\qquad x\ne0. \]
Мини-тест
Реши самостоятельно:
- Вычисли: \(\;3^4\).
- Упрости: \(\;a^3\cdot a^6\).
- Упрости: \(\;(x^4)^2\).
- Раскрой скобки: \(\;(5y)^2\).
- Упрости: \(\;z^8:z^3\), где \(z\ne0\).
- Вычисли отдельно: \[ (-3)^2 \quad\text{и}\quad -3^2. \]
- Упрости: \[ \frac{(2x^2)^2}{4x},\qquad x\ne0. \]
- Упрости: \[ \frac{(a^2b)^3\cdot a}{a^4b^2},\qquad a\ne0,\ b\ne0. \]
Пришли ответы по номерам — я проверю их и разберу ошибки.
