Реши номер 119 (1, 2, 3)
Краткий ответ
| Функция | Область определения | Множество значений | Ограниченность |
|---|---|---|---|
| \(y=x^6\) | \(\mathbb R\) | \([0;+\infty)\) | ограничена снизу, но не ограничена сверху |
| \(y=x^5\) | \(\mathbb R\) | \(\mathbb R\) | не ограничена ни сверху, ни снизу |
| \(y=x^7\) | \(\mathbb R\) | \(\mathbb R\) | не ограничена ни сверху, ни снизу |
Решение
1) \(y=x^6\)
Шестая степень — чётная, поэтому график симметричен относительно оси \(Oy\).
Опорные точки:
\[ (-1;1),\quad (0;0),\quad (1;1). \]
Так как
\[ x^6\ge 0 \]
при любом \(x\), функция имеет наименьшее значение \(0\). При увеличении \(|x|\) значение \(x^6\) неограниченно возрастает.
График: ветви направлены вверх, вершина в точке \((0;0)\).
\[ D(y)=\mathbb R,\qquad E(y)=[0;+\infty). \]
Функция ограничена снизу числом \(0\), но не ограничена сверху.
2) \(y=x^5\)
Пятая степень — нечётная, поэтому график симметричен относительно начала координат.
Опорные точки:
\[ (-1;-1),\quad (0;0),\quad (1;1). \]
При \(x\to+\infty\):
\[ x^5\to+\infty, \]
а при \(x\to-\infty\):
\[ x^5\to-\infty. \]
График: возрастающая S-образная кривая, проходящая через начало координат.
\[ D(y)=\mathbb R,\qquad E(y)=\mathbb R. \]
Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
3) \(y=x^7\)
Седьмая степень также нечётная, поэтому график симметричен относительно начала координат.
Опорные точки:
\[ (-1;-1),\quad (0;0),\quad (1;1). \]
При \(x\to+\infty\) значение \(x^7\) неограниченно возрастает, а при \(x\to-\infty\) — неограниченно уменьшается.
График: возрастающая S-образная кривая, более пологая около начала координат и более крутая при больших \(|x|\).
\[ D(y)=\mathbb R,\qquad E(y)=\mathbb R. \]
Функция не ограничена ни сверху, ни снизу.
