Реши задание на изображении
Вычисление функций и обратных функций
Я рассматриваю обратную функцию к функции \(y=x²+2\) при \(x≤0\). Для \(x\) я получаю \(x=-√(y-2)\) из-за этого ограничения. После перестановки переменных я вывожу \(y=-√(x-2)\) при \(x≥2\). Возможно, я захочу построить её график, отражая точки вроде \((2,0)\), \((3,-1)\), \((6,-2)\) и \((11,-3)\). Область определения — \(x≥2\), а область значений — \(y≤0\). Следует проверить, пересекается ли обратная функция с исходной, но дискриминант указывает на отсутствие действительных точек пересечения.
Объяснение построения графика
Я обдумываю, как объяснить построение графика на рисунке. Возможно, нужно включить координаты и проиллюстрировать связь между переменными. Думаю, следует ответить на все задания с 5 по 7. Хотя у меня может не быть возможности непосредственно нарисовать график, я могу подробно описать построение. Возможно, подойдёт ASCII-представление? Также можно предоставить формулы или таблицы точек и проверить, нужно ли построить график, точно отражая точки.
На изображении задания 5–7. Обратные функции:
Краткий ответ
\[ y=-2x+1,\qquad y_{\text{обр}}=-\frac12x+\frac12. \]
\[ y=x^2+2,\quad x\le 0, \qquad y_{\text{обр}}=-\sqrt{x-2},\quad x\ge 2. \]
\[ y=-(x+1)^2,\quad x\le -1, \qquad y_{\text{обр}}=-1-\sqrt{-x},\quad x\le 0. \]
Графики функции и обратной к ней симметричны относительно прямой \(y=x\).
5
\[ y=-2x+1. \]
Выразим \(x\):
\[ 2x=1-y,\qquad x=\frac{1-y}{2}. \]
Меняем \(x\) и \(y\ местами: \[ \boxed{y=-\frac12x+\frac12}. \] Для построения можно взять точки: - исходная функция: \((-1;3), (0;1), (1;-1)\);
- обратная функция: \((3;-1), (1;0), (-1;1)\).
Это две прямые, симметричные относительно \(y=x\).
6
\[ y=x^2+2,\qquad x\le0. \]
Ограничение \(x\le0\) означает, что берём левую ветвь параболы. Выразим \(x\):
\[ x^2=y-2,\qquad x=-\sqrt{y-2}. \]
Минус выбираем из-за условия \(x\le0\). Меняем переменные:
\[ \boxed{y=-\sqrt{x-2}},\qquad x\ge2. \]
Точки для построения:
\[ \begin{array}{c|cccc} \text{исходная функция} & (0;2)&(-1;3)&(-2;6)&(-3;11)\\ \hline \text{обратная функция} & (2;0)&(3;-1)&(6;-2)&(11;-3) \end{array} \]
Проверка:
\[ f^{-1}(f(x))=-\sqrt{x^2}=x, \]
так как \(x\le0\).
7
\[ y=-(x+1)^2,\qquad x\le-1. \]
Так как \(x+1\le0\), то
\[ x+1=-\sqrt{-y}. \]
Следовательно,
\[ x=-1-\sqrt{-y}. \]
Меняем \(x\) и \(y\):
\[ \boxed{y=-1-\sqrt{-x}},\qquad x\le0. \]
Точки для построения:
\[ \begin{array}{c|cccc} \text{исходная функция} & (-1;0)&(-2;-1)&(-3;-4)&(-4;-9)\\ \hline \text{обратная функция} & (0;-1)&(-1;-2)&(-4;-3)&(-9;-4) \end{array} \]
Исходная функция — левая ветвь параболы, а график обратной получается её отражением относительно прямой \(y=x\).
