24 27 30

Краткие ответы

• 24: \(AD\parallel (BMC)\).
• 27: прямая \(AD\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(E\), причём
  \[ BE=48\text{ см}. \]
• 30:
  а) \(CD\subset\alpha\);
  б) средняя линия трапеции параллельна плоскости \(\alpha\).

№ 24

Пусть \(\pi\) — плоскость трапеции \(ABCD\).

Так как \(M\notin\pi\), плоскости \(\pi\) и \((BMC)\) пересекаются по прямой \(BC\).

В трапеции основания параллельны, поэтому

\[ AD\parallel BC. \]

Прямая \(BC\) лежит в плоскости \((BMC)\), а \(AD\) ей параллельна и не лежит в этой плоскости. По признаку параллельности прямой и плоскости:

\[ \boxed{AD\parallel (BMC)}. \]

№ 27

Пусть \(\beta=(ACD)\). Так как точки \(A,C,B\) лежат на одной прямой, точка \(B\) также принадлежит плоскости \(\beta\).

Через \(B\) проведём прямую, параллельную \(CD\). Она лежит в плоскости \(\alpha\), поскольку \(B\in\alpha\), а \(CD\parallel\alpha\). В плоскости \(\beta\) эта прямая пересекает \(AD\) в точке \(E\). Значит,

\[ E\in AD\quad\text{и}\quad E\in\alpha. \]

Следовательно, \(AD\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(E\), причём

\[ BE\parallel CD. \]

Так как \(C\) лежит между \(A\) и \(B\), из условия:

\[ AB:BC=4:3. \]

Пусть \(AB=4x\), \(BC=3x\). Тогда

\[ AC=AB-BC=x, \]

поэтому

\[ \frac{AB}{AC}=4. \]

Треугольники \(ABE\) и \(ACD\) подобны:

\[ \triangle ABE\sim\triangle ACD. \]

Значит,

\[ \frac{BE}{CD}=\frac{AB}{AC}=4. \]

При \(CD=12\) см:

\[ BE=4\cdot12=48\text{ см}. \]

\[ \boxed{BE=48\text{ см}} \]

Проверка: \(BE\) в 4 раза больше \(CD\), как и \(AB\) в 4 раза больше \(AC\).

№ 30

а)

В трапеции основания параллельны:

\[ AB\parallel CD. \]

По условию

\[ AB\parallel\alpha. \]

Значит, \(CD\) также параллельна плоскости \(\alpha\). Но точка \(C\) лежит в \(\alpha\). Прямая, параллельная плоскости и имеющая с ней общую точку, лежит в этой плоскости. Поэтому

\[ \boxed{CD\subset\alpha}. \]

б)

Пусть \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AD\) и \(BC\). Средняя линия трапеции параллельна основаниям:

\[ MN\parallel AB\parallel CD. \]

Плоскость трапеции пересекает плоскость \(\alpha\) по прямой \(CD\). Так как \(MN\) лежит в плоскости трапеции и параллельна \(CD\), она не пересекает плоскость \(\alpha\). Следовательно,

\[ \boxed{MN\parallel\alpha}. \]