Реши уравнение x² − 5x + 6 = 0
Краткий ответ:
\[
x_1=2,\qquad x_2=3.
\]
Разложим квадратный трёхчлен на множители:
\[ x^2-5x+6=(x-2)(x-3), \]
так как \((-2)+(-3)=-5\), а \((-2)\cdot(-3)=6\).
Тогда:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \] \[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Проверка:
\[ 2^2-5\cdot2+6=4-10+6=0, \] \[ 3^2-5\cdot3+6=9-15+6=0. \]
Ответ верный.
Обсуждение
2 сообщенияНе очень понял. Объясни подробнее второй этап: откуда там x?
\(x\) никуда не берётся — это то же самое неизвестное \(x\), которое было в исходном уравнении.
Рассмотрим переход:
\[ x^2-5x+6=0 \]
Мы разложили левую часть на множители:
\[ (x-2)(x-3)=0. \]
Почему именно такие скобки? Раскроем их:
\[ (x-2)(x-3)=x\cdot x+x\cdot(-3)+(-2)\cdot x+(-2)\cdot(-3), \]
\[ =x^2-3x-2x+6=x^2-5x+6. \]
То есть это выражение полностью совпадает с исходным.
Теперь используем правило: если произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю:
\[ x-2=0 \quad \text{или} \quad x-3=0. \]
Здесь \(x\) — всё та же неизвестная. Решаем каждое уравнение:
\[ x-2=0 \Rightarrow x=2, \]
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3. \]
Поэтому корни:
\[ \boxed{x=2 \text{ и } x=3}. \]
