Составь схему полного статистического исследования данных с таблицами
Краткий ответ. По виду ряда выдвигаем гипотезу \(H_0\) о нормальном распределении. После объединения интервалов с малыми теоретическими частотами:
\[ \chi^2_{\text{набл}}\approx 3{,}92,\qquad \chi^2_{\text{кр}}(0{,}99;2)=9{,}21. \]
Так как \(3{,}92<9{,}21\), при \(\alpha=0{,}01\) нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.
1. Расчёт основных характеристик
| \(x_i\) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 | \(\sum\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n_i\) | 3 | 12 | 24 | 45 | 21 | 11 | 4 | 120 |
| \(x_i n_i\) | 9 | 60 | 168 | 405 | 231 | 143 | 60 | 1076 |
| \(x_i^2n_i\) | 27 | 300 | 1176 | 3645 | 2541 | 1859 | 900 | 10448 |
Объём выборки:
\[ n=\sum n_i=120. \]
Выборочное среднее:
\[ \overline{x}=\frac{\sum x_i n_i}{n} =\frac{1076}{120}\approx 8{,}9667. \]
Оценка дисперсии нормального распределения:
\[ \widehat{\sigma}^2 =\frac{\sum x_i^2n_i}{n}-\overline{x}^{\,2} =\frac{10448}{120}-(8{,}9667)^2 \approx 6{,}6656. \]
\[ \widehat{\sigma}\approx 2{,}5818. \]
Мода и медиана равны \(9\), среднее близко к \(9\), частоты образуют приблизительно колоколообразный ряд. Поэтому проверяем:
\[ H_0: X\sim N(8{,}9667;\,6{,}6656), \]
\[ H_1: \text{распределение не является нормальным}. \]
Здесь \(6{,}6656\) — дисперсия.
2. Теоретические частоты
Шаг между соседними значениями равен \(h=2\), поэтому границы интервалов берём посередине между значениями:
\[ 4,\;6,\;8,\;10,\;12,\;14. \]
Для нормального распределения:
\[ p_i= \Phi\left(\frac{b_i-\overline{x}}{\widehat{\sigma}}\right) - \Phi\left(\frac{a_i-\overline{x}}{\widehat{\sigma}}\right), \]
где \(\Phi\) — функция распределения стандартной нормали, а теоретическая частота:
\[ n_i'=np_i. \]
| Интервал | Наблюдаемая частота \(O_i\) | \(p_i\) | Теоретическая частота \(E_i=np_i\) |
|---|---|---|---|
| \((-\infty;4)\) | 3 | 0,0272 | 3,26 |
| \([4;6)\) | 12 | 0,0981 | 11,77 |
| \([6;8)\) | 24 | 0,2288 | 27,45 |
| \([8;10)\) | 45 | 0,3015 | 36,18 |
| \([10;12)\) | 21 | 0,2245 | 26,94 |
| \([12;14)\) | 11 | 0,0944 | 11,33 |
| \([14;+\infty)\) | 4 | 0,0256 | 3,07 |
В первом и последнем интервалах теоретические частоты меньше \(5\), поэтому объединяем соседние интервалы.
3. Расчёт критерия Пирсона
| Объединённый интервал | \(O_i\) | \(E_i\) | \(\dfrac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\) |
|---|---|---|---|
| \(X<6\) | 15 | 15,03 | 0,000 |
| \(6\le X<8\) | 24 | 27,45 | 0,435 |
| \(8\le X<10\) | 45 | 36,18 | 2,152 |
| \(10\le X<12\) | 21 | 26,94 | 1,308 |
| \(X\ge12\) | 15 | 14,40 | 0,025 |
| Итого | 120 | 120,00 | 3,92 |
Наблюдаемое значение критерия:
\[ \chi^2_{\text{набл}} =\sum\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} \approx 3{,}92. \]
Число степеней свободы:
\[ \nu=k-1-r, \]
где \(k=5\) — число интервалов, \(r=2\) — число оценённых параметров нормального распределения (\(\mu\) и \(\sigma\)).
\[ \nu=5-1-2=2. \]
Критическое значение:
\[ \chi^2_{\text{кр}}(1-\alpha;\nu) =\chi^2_{0{,}99;2}=9{,}21. \]
Вывод
\[ \chi^2_{\text{набл}}=3{,}92<9{,}21=\chi^2_{\text{кр}}. \]
Следовательно, при уровне значимости \(\alpha=0{,}01\) гипотеза \(H_0\) не отвергается. Выборочные данные согласуются с нормальным распределением:
\[ \boxed{X\sim N(8{,}97;\,6{,}67)}. \]
Критерий Пирсона не доказывает нормальность абсолютно, а показывает, что имеющихся данных недостаточно, чтобы её отвергнуть.
