Реши задание на изображении

На фото два варианта. Какой решать — 1 или 2, и нужно ли выполнить все пять заданий с чертежами?

Хорошо, решу оба варианта и все задания с чертежами. Пришли, пожалуйста, фото страницы ещё раз — сейчас само изображение в чате не отображается.

Это продолжение предыдущего задания: ты прислал запрошенное фото. Решаю оба варианта и все задания. Схемы даны не в масштабе.

Вариант 1

1. Прямоугольник \(ABCD\)

Схема:

D────────C
│ ╲    ╱ │
│  ╲  ╱  │
│   O    │
│  ╱  ╲  │
│ ╱    ╲ │
A────────B

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому \(OA=OB\). Треугольник \(AOB\) равнобедренный:

\[ \angle BAO=\angle ABO=36^\circ. \]

Тогда

\[ \angle AOB=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ. \]

Углы \(\angle AOB\) и \(\angle AOD\) смежные:

\[ \angle AOD=180^\circ-108^\circ=72^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{72^\circ}\).

---

2. Прямоугольная трапеция

Схема:

A────B
│     ╲
│      ╲
D───────C

В прямоугольной трапеции два угла прямые:

\[ 90^\circ,\quad 90^\circ. \]

Два других угла в сумме дают \(180^\circ\):

\[ 180^\circ-20^\circ=160^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{20^\circ,\ 160^\circ,\ 90^\circ,\ 90^\circ}\).

---

3. Стороны параллелограмма

Пусть стороны равны \(x\) и \(2x\). Тогда:

\[ 2(x+2x)=30, \]

\[ 6x=30,\qquad x=5. \]

Стороны:

\[ x=5\text{ см},\qquad 2x=10\text{ см}. \]

Ответ: \(\boxed{5\text{ см и }10\text{ см}}\).

---

4. Равнобокая трапеция

Схема:

A────────B
 ╲      ╱
  D────C

Углы при большем основании равны:

\[ \angle A=\angle B=\frac{96^\circ}{2}=48^\circ. \]

Соседние углы трапеции supplementary:

\[ 180^\circ-48^\circ=132^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{48^\circ,\ 48^\circ,\ 132^\circ,\ 132^\circ}\).

---

5. Ромб \(ABCD\)

Схема:

        B──────C
       /│      /
      / │     /
     A──M────D

\[ BM\perp AD,\qquad \angle ABM=30^\circ,\qquad AM=4\text{ см}. \]

В прямоугольном треугольнике \(ABM\):

\[ \angle BAM=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]

Так как \(M\) лежит на стороне \(AD\), то

\[ \angle BAD=60^\circ. \]

Найдём сторону ромба:

\[ \sin30^\circ=\frac{AM}{AB}, \]

\[ \frac12=\frac4{AB},\qquad AB=8\text{ см}. \]

В ромбе \(AB=AD=8\) см, а угол \(A=60^\circ\), поэтому треугольник \(ABD\) равносторонний:

\[ BD=8\text{ см}. \]

Ответ: \(\boxed{8\text{ см}}\).

---

Вариант 2

1. Прямоугольник \(MNKP\)

Схема:

M────────N
│ ╲    ╱ │
│  ╲  ╱  │
│   O    │
│  ╱  ╲  │
│ ╱    ╲ │
P────────K

Так как диагонали прямоугольника равны и делятся пополам:

\[ OM=ON. \]

Треугольник \(MON\) равнобедренный:

\[ \angle OMN=\angle ONM =\frac{180^\circ-64^\circ}{2}=58^\circ. \]

Угол \(NMP\) прямой:

\[ \angle NMP=90^\circ. \]

Поэтому

\[ \angle OMP=90^\circ-58^\circ=32^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{32^\circ}\).

---

2. Равнобокая трапеция

Пусть меньший угол равен \(x\), тогда больший — \(x+30^\circ\). Соседние углы трапеции в сумме дают \(180^\circ\):

\[ x+(x+30^\circ)=180^\circ, \]

\[ 2x=150^\circ,\qquad x=75^\circ. \]

Второй угол:

\[ 75^\circ+30^\circ=105^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{75^\circ,\ 75^\circ,\ 105^\circ,\ 105^\circ}\).

---

3. Стороны параллелограмма

Пусть стороны равны \(3x\) и \(x\). Тогда:

\[ 2(3x+x)=40, \]

\[ 8x=40,\qquad x=5. \]

Стороны:

\[ 3x=15\text{ см},\qquad x=5\text{ см}. \]

Ответ: \(\boxed{15\text{ см и }5\text{ см}}\).

---

4. Прямоугольная трапеция

Два угла прямоугольной трапеции равны \(90^\circ\). Два других угла — \(x\) и \(x+48^\circ\):

\[ x+(x+48^\circ)=180^\circ, \]

\[ 2x=132^\circ,\qquad x=66^\circ. \]

Второй угол:

\[ 66^\circ+48^\circ=114^\circ. \]

Ответ: \(\boxed{90^\circ,\ 90^\circ,\ 66^\circ,\ 114^\circ}\).

---

5. Ромб \(ABCD\)

Точка \(M\) лежит на продолжении стороны \(AD\):

        B──────C
        │\     /
M───────A─────D

В прямоугольном треугольнике \(ABM\):

\[ \angle BAM=180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. \]

Так как \(AM\) и \(AD\) — противоположные лучи:

\[ \angle BAD=180^\circ-60^\circ=120^\circ. \]

Пусть сторона ромба равна \(a\). Для диагонали \(AC\):

\[ AC^2=a^2+a^2+2a^2\cos120^\circ, \]

\[ AC^2=2a^2-a^2=a^2. \]

Значит,

\[ AC=a=6\text{ см}. \]

В треугольнике \(ABM\):

\[ AM=AB\sin30^\circ=6\cdot\frac12=3\text{ см}. \]

Ответ: \(\boxed{3\text{ см}}\).

---

Краткие ответы

Вариант 1:

1. \(72^\circ\); 2) \(20^\circ,160^\circ,90^\circ,90^\circ\); 3) \(5\) см и \(10\) см; 4) \(48^\circ,48^\circ,132^\circ,132^\circ\); 5) \(8\) см.

Вариант 2:

1. \(32^\circ\); 2) \(75^\circ,75^\circ,105^\circ,105^\circ\); 3) \(15\) см и \(5\) см; 4) \(90^\circ,90^\circ,66^\circ,114^\circ\); 5) \(3\) см.