Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. \(\displaystyle \frac{6}{c}\), \(c\ne0,\ m\ne0\).
2. \(\displaystyle -\frac{2}{7y^2}\), \(y\ne0\).
3. \(\displaystyle -\frac{2a^{13}}{7b^3}\), \(a\ne0,\ b\ne0\).
4. \(\displaystyle \frac{3}{x+5}\), \(x\ne-5\).
5. \(\displaystyle \frac{a}{2(b-2)}\), \(b\ne2\).
6. \(\displaystyle \frac{5}{x+2}\), \(x\ne\pm2\).
7. \(\displaystyle \frac{a+2b}{b}\), \(b\ne0\).
8. \(\displaystyle -\frac{3x}{4}\), \(x\ne\frac12\).
9. \(\displaystyle \frac{m^2-16}{m^2+8m+4}\) — не сокращается.
10. \(\displaystyle b\), \(b\ne0,\ b\ne\pm1\).
11. \(\displaystyle \frac{3-4c}{3}\).
12. \(\displaystyle \frac1{c-3}\), \(c\ne\pm3\).

Решение

Сокращать можно только множители, поэтому сначала раскладываем выражения на множители.

1. \[ \frac{6m}{cm}=\frac{6\cdot m}{c\cdot m}=\frac6c. \]

2. \[ \frac{12y^3}{-42y^5} =-\frac{12}{42}\cdot\frac{y^3}{y^5} =-\frac27\cdot\frac1{y^2} =-\frac{2}{7y^2}. \]

3. \[ \frac{16a^{14}}{-56ab^3} =-\frac{16}{56}\cdot\frac{a^{14}}a\cdot\frac1{b^3} =-\frac{2a^{13}}{7b^3}. \]

4. \[ \frac{3(x+5)^2}{(x+5)^3} =\frac3{x+5}. \]

5. \[ \frac{3a(b-2)}{6(b-2)^2} =\frac{3a}{6(b-2)} =\frac{a}{2(b-2)}. \]

6. Разложим разность квадратов: \[ 5x-10=5(x-2),\qquad x^2-4=(x-2)(x+2). \] Тогда \[ \frac{5x-10}{x^2-4} =\frac{5(x-2)}{(x-2)(x+2)} =\frac5{x+2}. \]

7. \[ \frac{4a+8b}{4b} =\frac{4(a+2b)}{4b} =\frac{a+2b}{b}. \]

8. \[ 6x^2-3x=3x(2x-1), \] \[ 4-8x=-4(2x-1). \] Следовательно, \[ \frac{6x^2-3x}{4-8x} =\frac{3x(2x-1)}{-4(2x-1)} =-\frac{3x}{4}. \]

9. \[ m^2-16=(m-4)(m+4). \] Но \[ m^2+8m+4\ne(m+4)^2, \] поскольку \((m+4)^2=m^2+8m+16\). Общих множителей нет, поэтому дробь не сокращается.

Если в знаменателе последним числом написано \(16\), а не \(4\), то ответ будет \(\displaystyle \frac{m-4}{m+4}\).

10. \[ b^5-b^3=b^3(b^2-1), \] \[ b^4-b^2=b^2(b^2-1). \] Поэтому \[ \frac{b^5-b^3}{b^4-b^2} =\frac{b^3(b^2-1)}{b^2(b^2-1)} =b. \]

11. Знаменатели одинаковые: \[ \frac{c+3}{3}-\frac{5c}{3} =\frac{c+3-5c}{3} =\frac{3-4c}{3}. \]

12. \[ \frac{c}{c^2-9}+\frac3{c^2-9} =\frac{c+3}{c^2-9}. \] Разложим знаменатель: \[ c^2-9=(c-3)(c+3). \] Тогда \[ \frac{c+3}{(c-3)(c+3)} =\frac1{c-3}. \]

При сокращении ограничения исходной дроби сохраняются: в №12 \(c\ne3\) и \(c\ne-3\), даже несмотря на сокращение множителя \(c+3\).