выполните номера 11.14, 11.16, 11.18
Решение квадратного уравнения
Я решаю квадратное уравнение \(48x-80=x^2-12x+36\), которое упрощается до \(x^2-60x+116=0\). Я вычисляю дискриминант: \(3600-464=3136\), откуда получаю \(56^2\). Затем нахожу корни: \(x=(60±56)/2\), что даёт \(x=58\) или \(x=2\). Однако, поскольку необходимо учитывать область определения \(x\leq6\), я заключаю, что \(x=2\) является допустимым решением.
Решение уравнений и ограничений
Я решаю уравнения, содержащие радикалы и корни многочленов. Я замечаю, что \(x\) должно быть больше или равно 3, чтобы выполнялись определённые условия. После возведения обеих частей в квадрат я нахожу дискриминант и корни, заключая, что только \(x = 6\) удовлетворяет ограничениям. Мне также нужно убедиться, что вся транскрипция выполнена правильно, и упомянуть важность правильной организации данных для последующих задач. Наконец, я планирую изложить использованные принципы, такие как выделение радикалов и проверка результатов. Постараемся сохранить изложение кратким, но вместе с тем исчерпывающим!
Уточнение ответов и следующие шаги
Я понимаю, что мой ответ довольно полный, но мог бы предложить фразу вроде «Давайте подробнее разберём один из корней». Однако это больше похоже на предложение. Мне нужно включить короткий и понятный вопрос или указание, возможно, что-то полезное для дальнейшего исследования. Для режима «Понять» я мог бы написать: «[[NEXT]] Объяснить подробнее, почему появляются посторонние корни?» Это кратко и позволяет углубить понимание!
Анализ уравнения
Я решаю уравнение, начинающееся с 3x + 1, и пытаюсь упростить его, чтобы найти корни. Я вижу, что запись \(x - 2 = 2\sqrt{(x+1)}\) приводит к условию \(x \geq 2\). Я возвёл обе части в квадрат, чтобы исследовать уравнение дальше. Но погодите, область определения \(-1 \leq x \leq 1\), похоже, усложняет ситуацию. Я рассматриваю, как это влияет на минимальное значение \(\sqrt{1-x} + \sqrt{1+x}\).
Проверка кратких решений
Думаю, следует добавить краткие строки с проверкой для каждого выражения, возможно, даже объединить их. Кажется важным не переусердствовать, но я хочу убедиться, что режим понят правильно. Нужно найти баланс между подробностью и простотой. Давайте рассмотрим, как представить это ясно, не усложняя изложение, сосредоточившись на понятности для пользователя.
Краткие ответы:
- 11.14: 1) \(x=2\); 2) \(x=8\); 3) решений нет; 4) \(x=-3,\ 1\).
- 11.16: 1) \(x=-5,\ 4\); 2) \(x=-1\).
- 11.18: 1) \(x=-1\); 2) \(x=6\).
Принцип решения
- Найти ОДЗ — подкоренные выражения должны быть неотрицательными.
- Изолировать один корень и возвести обе части в квадрат.
- Полученные корни обязательно проверить в исходном уравнении: после возведения в квадрат могут появиться лишние корни.
11.14
1) \(\sqrt{2x+5}-\sqrt{3x-5}=2\)
ОДЗ: \(x\ge \frac53\).
\[ \sqrt{2x+5}=2+\sqrt{3x-5} \]
Возведём в квадрат:
\[ 2x+5=4+3x-5+4\sqrt{3x-5}, \]
\[ 4\sqrt{3x-5}=6-x. \]
Значит, \(x\le 6\). Ещё раз возводим в квадрат:
\[ 16(3x-5)=(6-x)^2, \]
\[ 48x-80=x^2-12x+36, \]
\[ x^2-60x+116=0. \]
\[ x_1=2,\qquad x_2=58. \]
Условию \(x\le6\) удовлетворяет только \(x=2\).
Проверка:
\[ \sqrt9-\sqrt1=3-1=2. \]
Ответ: \(\boxed{x=2}\).
2) \(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x+1}=2\)
\[ \sqrt{3x+1}=2+\sqrt{x+1}. \]
После возведения в квадрат:
\[ 3x+1=x+5+4\sqrt{x+1}, \]
\[ x-2=2\sqrt{x+1}. \]
Отсюда \(x\ge2\). Снова возводим в квадрат:
\[ (x-2)^2=4(x+1), \]
\[ x^2-8x=0, \]
\[ x=0\quad\text{или}\quad x=8. \]
Условию \(x\ge2\) подходит только \(x=8\).
Проверка:
\[ \sqrt{25}-\sqrt9=5-3=2. \]
Ответ: \(\boxed{x=8}\).
3) \(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}=1\)
ОДЗ:
\[ -1\le x\le1. \]
Возведём левую часть в квадрат:
\[ \left(\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\right)^2 =2+2\sqrt{1-x^2}\ge2. \]
Но квадрат правой части равен \(1\). Получаем противоречие.
Ответ: \(\boxed{\text{решений нет}}\).
4) \(\sqrt{13-4x}+\sqrt{x+3}=5\)
Сделаем замену:
\[ t=\sqrt{x+3},\qquad t\ge0. \]
Тогда \(x=t^2-3\), и уравнение принимает вид:
\[ \sqrt{25-4t^2}+t=5. \]
\[ \sqrt{25-4t^2}=5-t. \]
Возводим в квадрат:
\[ 25-4t^2=25-10t+t^2, \]
\[ 5t(t-2)=0. \]
\[ t=0\quad\text{или}\quad t=2. \]
Так как \(x=t^2-3\), получаем:
\[ x=-3\quad\text{или}\quad x=1. \]
Проверка:
\[ x=-3:\quad \sqrt{25}+0=5; \]
\[ x=1:\quad \sqrt9+\sqrt4=3+2=5. \]
Ответ: \(\boxed{x=-3;\ 1}\).
11.16
1) \(\sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}=3\)
ОДЗ:
\[ -5\le x\le4. \]
Возведём в квадрат:
\[ (4-x)+(x+5)+2\sqrt{(4-x)(x+5)}=9. \]
\[ 9+2\sqrt{(4-x)(x+5)}=9, \]
\[ (4-x)(x+5)=0. \]
Отсюда:
\[ x=4\quad\text{или}\quad x=-5. \]
Проверка:
\[ x=4:\quad 0+3=3; \]
\[ x=-5:\quad 3+0=3. \]
Ответ: \(\boxed{x=-5;\ 4}\).
2) \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+5}=3\)
ОДЗ: \(x\ge-\frac32\).
Возведём в квадрат:
\[ 2x+3+x+5+2\sqrt{(2x+3)(x+5)}=9, \]
\[ 2\sqrt{(2x+3)(x+5)}=1-3x. \]
Значит, \(x\le\frac13\). Ещё раз возводим в квадрат:
\[ 4(2x+3)(x+5)=(1-3x)^2. \]
\[ 8x^2+52x+60=9x^2-6x+1, \]
\[ x^2-58x-59=0. \]
\[ x=-1\quad\text{или}\quad x=59. \]
Условию \(x\le\frac13\) удовлетворяет только \(x=-1\).
Проверка:
\[ \sqrt1+\sqrt4=1+2=3. \]
Ответ: \(\boxed{x=-1}\).
11.18
1) \(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x+7}=\sqrt{8-x}\)
ОДЗ:
\[ -2\le x\le8. \]
Возведём в квадрат:
\[ x+2+3x+7+2\sqrt{(x+2)(3x+7)}=8-x. \]
\[ 2\sqrt{(x+2)(3x+7)}=-5x-1. \]
Следовательно, \(x\le-\frac15\). Возводим в квадрат:
\[ 4(x+2)(3x+7)=(5x+1)^2. \]
\[ 12x^2+52x+56=25x^2+10x+1, \]
\[ 13x^2-42x-55=0. \]
\[ (x+1)(13x-55)=0. \]
\[ x=-1\quad\text{или}\quad x=\frac{55}{13}. \]
Условию \(x\le-\frac15\) подходит только \(x=-1\).
Проверка:
\[ \sqrt1+\sqrt4=\sqrt9=3. \]
Ответ: \(\boxed{x=-1}\).
2) \(\sqrt{6x-11}-\sqrt{x-2}=\sqrt{x+3}\)
ОДЗ:
\[ x\ge2. \]
Перенесём второй корень:
\[ \sqrt{6x-11}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x+3}. \]
Возводим в квадрат:
\[ 6x-11=2x+1+2\sqrt{(x-2)(x+3)}, \]
\[ 2x-6=\sqrt{(x-2)(x+3)}. \]
Значит, \(x\ge3\). Снова возводим в квадрат:
\[ (2x-6)^2=(x-2)(x+3), \]
\[ 4x^2-24x+36=x^2+x-6, \]
\[ 3x^2-25x+42=0, \]
\[ (x-6)(3x-7)=0. \]
\[ x=6\quad\text{или}\quad x=\frac73. \]
Условию \(x\ge3\) подходит только \(x=6\).
Проверка:
\[ \sqrt{25}-\sqrt4=5-2=3=\sqrt9. \]
Ответ: \(\boxed{x=6}\).
