реши номер 9.4
Анализ критических точек
Я разбираю это выражение с критическими точками от различных множителей. Нужно учитывать несколько корней и их соответствующие кратности, например знаки при нечётных/чётных кратностях. Критические точки: -7/2 (-3.5), -4, 0.5, 2 и 3. Думаю, правильный порядок такой: -4, -3.5, 0.5, 2 и 3. Корни каждого множителя дают мне значения, и нужно помнить о влиянии чётных/нечётных кратностей на знаки. Похоже, я двигаюсь в правильном направлении!
Уточнение анализа знаков
Я рассматриваю свойства чётных и нечётных степеней в полиномиальной функции. Чётные степени остаются неотрицательными, но могут обращаться в ноль в своих корнях. Нужно учитывать критические корни и их знаки, отмечая, что корни -4 и 2 дают положительные значения по обе стороны, тогда как другие, например -7/2 и 1/2, меняют знаки. Тщательный анализ показывает, что мне следует записать получающиеся интервалы. После проверки допустимое решение исключает корень x=2, который я ранее неправильно интерпретировал!
Завершение решения по интервалам
Корень -7/2 находится на отрицательном интервале, поэтому он не влияет на решения. Я рассматриваю границы в точках -4 и 0, причём x=2 требует особого внимания, поскольку исключается из решения из-за обращения в ноль. Допустимые интервалы: (-∞,-4)∪(1/2,2)∪(2,3). Нужно помнить, что корни чётной кратности не меняют знаки, но не могут быть включены в строгое неравенство. Порядок корней подтверждён: -4, -7/2, 1/2, 2 и 3. Наконец, нужно учесть отрицательное влияние корня в точке 0.5!
Формулировка ответа
Думаю, следует упомянуть нули \(x=-7/2\) и \(x=2\), даже если при их прохождении знак не меняется. Это выглядит уместно. Также нужно включить в ответ «9.4». Для ясности я использую интервальную запись. Я хочу, чтобы ответ не был слишком подробным, примерно из четырёх ключевых пунктов. Возможно, можно пропустить все подробности арифметических вычислений. Что ж, пора завершить это последней частью!
Краткий ответ:
\[ x\in(-\infty;-1)\cup(4;+\infty). \]
\[ x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac12;2\right)\cup(2;3). \]
Решение
1) \(\boldsymbol{x^2(x+1)(x-4)>0}\)
Нули выражения:
\[ x=-1,\qquad x=0,\qquad x=4. \]
Так как \(x^2\ge 0\), а при \(x\ne0\) имеем \(x^2>0\), знак произведения определяется множителями \((x+1)(x-4)\).
Произведение двух линейных множителей положительно вне корней:
\[ x<-1\quad\text{или}\quad x>4. \]
Точка \(x=0\) не подходит, так как выражение равно нулю.
\[ \boxed{x\in(-\infty;-1)\cup(4;+\infty)} \]
2) \(\boldsymbol{(1-2x)(x-3)^9(2x+7)^6(x+4)(x-2)^2>0}\)
Нули выражения:
\[ x=-4,\quad x=-\frac72,\quad x=\frac12,\quad x=2,\quad x=3. \]
Корни \(-\frac72\) и \(2\) имеют чётную степень, поэтому знак при переходе через них не меняется, но сами точки исключаются.
Расставим точки по порядку:
\[ -4<-\frac72<\frac12<2<3. \]
При \(x<-4\) выражение положительно. Знак меняется только при переходе через корни нечётной кратности: \(-4\), \(\frac12\), \(3\).
| Интервал | Знак |
|---|---|
| \((-\infty;-4)\) | \(+\) |
| \((-4;-\frac72)\) | \(-\) |
| \((-\frac72;\frac12)\) | \(-\) |
| \((\frac12;2)\) | \(+\) |
| \((2;3)\) | \(+\) |
| \((3;+\infty)\) | \(-\) |
Берём интервалы со знаком «плюс», не включая нули:
\[ \boxed{x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac12;2\right)\cup(2;3)}. \]
Обсуждение
2 сообщенияРеши похожее неравенство методом интервалов номер 9.5 1 и 2 пример
9.5, № 1
\[ (2-x)(3x+5)(x^2-x+1)>0 \]
Квадратный трёхчлен всегда положителен:
\[ x^2-x+1=\left(x-\frac12\right)^2+\frac34>0. \]
Поэтому рассматриваем только произведение:
\[ (2-x)(3x+5)>0. \]
Нули множителей:
\[ 2-x=0 \Rightarrow x=2, \qquad 3x+5=0 \Rightarrow x=-\frac53. \]
Расставим точки:
\[ -\frac53<2. \]
Знаки:
\[ \begin{array}{c|ccc} x & \left(-\infty;-\frac53\right) & \left(-\frac53;2\right) & (2;+\infty)\\ \hline (2-x)(3x+5)&-&+&- \end{array} \]
Берём промежуток со знаком «плюс»:
\[ \boxed{x\in\left(-\frac53;2\right)}. \]
9.5, № 2
\[ (2x+1)^2(x^2-4x+3)>0 \]
Разложим квадратный трёхчлен:
\[ x^2-4x+3=(x-1)(x-3). \]
Получаем:
\[ (2x+1)^2(x-1)(x-3)>0. \]
Нули:
\[ 2x+1=0 \Rightarrow x=-\frac12, \qquad x=1,\qquad x=3. \]
Множитель \((2x+1)^2\) имеет чётную степень: он не меняет знак, но точку \(x=-\frac12\) нужно исключить, поскольку произведение там равно нулю.
Знак \((x-1)(x-3)\) положителен при
\[ x<1 \quad\text{или}\quad x>3. \]
Исключаем \(x=-\frac12\):
\[ \boxed{x\in\left(-\infty;-\frac12\right)\cup \left(-\frac12;1\right)\cup(3;+\infty)}. \]
