Реши номер 8.36
Исследование обозначения корня четвёртой степени
Я анализирую обозначение корня четвёртой степени в типографике. Похоже, маленький индекс «4» размещается у знака радикала, как в \(\sqrt[4]{64}\). Я смотрю на изображение, где написано «4√64», что может означать, что «4» является коэффициентом. Также имеется напечатанная строка: «г) 0,25 · (1/4)^{10 − x} > 4√64». Мне нужно определить, выглядит ли «4» перед корнем маленькой или оформленной иначе.
Оценка форматирования корня четвёртой степени
Мне нужно определить, является ли четвёртый корень из 64, \( \sqrt[4]{64}\), простой степенью с основанием 4. На самом деле это \(2^{3/2}\), так что с ним легко работать. Я хочу внимательно проверить форматирование на изображении: в строке б с \(\sqrt[3]{125}\) индекс 3 находится в верхнем левом углу. В отличие от этого, «4» перед \(\sqrt{64}\), кажется, находится на обычной высоте. Мне следует учитывать это при интерпретации пунктов задачи.
Проверка концов интервалов
Мне нужно проверить некоторые математические концы интервалов. Для \(x = 1/2\) я проверяю, верно ли, что \(2\sqrt{2} \cdot 2^{-5/2} = 1/2\), что, по-видимому, так и есть. При \(x = 1/4\) обе части равны \(5^{1.5}\), так что это тоже работает. Для \(x = -1/2\) и \(x = 27/2\) применяются строгие неравенства. Также при \(x=13.5\) значение \(0.25 \cdot (1/4)^{10-x}\) равно 32, что верно. Мне следует уточнить, как интерпретировать \(4\sqrt{64}\), чтобы лучше это понять.
Обдумывание подхода к объяснению
Думаю, мне может понадобиться маркер для вопроса, что-то вроде «Попробуй решить...», чтобы стимулировать дальнейшее взаимодействие. Для следующего вопроса, возможно, я мог бы сформулировать его так: «Объясни ещё раз, как переводить корни в степени». Это около 58? Я бы пересчитал, чтобы убедиться; кажется, я близок к 54, что подходит. Я хочу убедиться, что это охватывает более глубокие принципы для лучшего понимания, и помнить, что в последней строке не следует использовать markdown.
Краткий ответ:
а) \(x\ge \dfrac12\);
б) \(x\le \dfrac14\);
в) \(x>-\dfrac12\);
г) \(x>\dfrac{27}{2}\).
Решение
При \(a>1\): \(a^m\ge a^n\) равносильно \(m\ge n\).
а)
\[
2\sqrt2\cdot2^{x-3}
=2^{1+\frac12}\cdot2^{x-3}
=2^{x-\frac32}.
\]
Так как \(\dfrac12=2^{-1}\), получаем:
\[
2^{x-\frac32}\ge2^{-1}
\Rightarrow x-\frac32\ge-1
\Rightarrow \boxed{x\ge\frac12}.
\]
б)
\[
\sqrt[3]{125}\cdot\sqrt5
=5\cdot5^{\frac12}=5^{\frac32}.
\]
\[
5\left(\frac15\right)^{2x-1}
=5\cdot5^{-(2x-1)}
=5^{2-2x}.
\]
Тогда
\[
5^{\frac32}\le5^{2-2x}
\Rightarrow \frac32\le2-2x
\Rightarrow \boxed{x\le\frac14}.
\]
в)
\[
\left(\frac17\right)^{3x+4}\cdot7\sqrt7
=7^{-(3x+4)}\cdot7^{\frac32}
=7^{-3x-\frac52}.
\]
Так как \(\dfrac17=7^{-1}\), имеем:
\[
7^{-3x-\frac52}<7^{-1}
\Rightarrow -3x-\frac52<-1
\Rightarrow \boxed{x>-\frac12}.
\]
г)
Здесь \(4\sqrt{64}=4\cdot8=32=4^{\frac52}\). Кроме того,
\[
0{,}25=\frac14=4^{-1}.
\]
Поэтому
\[
0{,}25\left(\frac14\right)^{10-x}
=4^{-1}\cdot4^{-(10-x)}
=4^{x-11}.
\]
Получаем:
\[
4^{x-11}>4^{\frac52}
\Rightarrow x-11>\frac52
\Rightarrow \boxed{x>\frac{27}{2}}.
\]
В первых двух пунктах граница входит, потому что знак неравенства нестрогий; в пунктах в) и г) граница не входит.
Обсуждение
6 сообщенийРеши номер 8.37
8.37
а)
\[ 7^{x^2-5x}<\left(\frac17\right)^6=7^{-6}. \]
Так как \(7>1\), сравниваем показатели: \[ x^2-5x<-6, \] \[ x^2-5x+6<0, \] \[ (x-2)(x-3)<0. \]
\[ \boxed{x\in(2;3)} \]
б)
\[ 0{,}6^{x^2-x}\ge\left(\frac35\right)^6. \]
Так как \(0{,}6=\frac35<1\), знак неравенства при сравнении показателей меняется: \[ x^2-x\le6. \]
\[ x^2-x-6\le0, \] \[ (x-3)(x+2)\le0. \]
\[ \boxed{x\in[-2;3]} \]
в)
\[ 11^{2x^2+3x}\le121=11^2. \]
Так как \(11>1\): \[ 2x^2+3x\le2, \] \[ 2x^2+3x-2\le0. \]
Корни: \[ x_1=-2,\qquad x_2=\frac12. \]
\[ \boxed{x\in\left[-2;\frac12\right]} \]
г)
\[ 0{,}3^{x^2-10x}>\left(3\frac13\right)^{24}. \]
\[ 0{,}3=\frac3{10},\qquad 3\frac13=\frac{10}{3}=\left(\frac3{10}\right)^{-1}. \]
Тогда: \[ \left(\frac3{10}\right)^{x^2-10x}> \left(\frac3{10}\right)^{-24}. \]
Поскольку \(\frac3{10}<1\), знак меняется: \[ x^2-10x<-24. \]
\[ x^2-10x+24<0, \] \[ (x-4)(x-6)<0. \]
\[ \boxed{x\in(4;6)} \]
Реши номер 8.38
8.38
а)
\[ \sqrt{2^{-1}}\cdot\sqrt{2^{x^2-7{,}5}}\ge 2^{-7}. \]
Представим левую часть как степень двойки: \[ 2^{-\frac12}\cdot 2^{\frac{x^2-7{,}5}{2}} =2^{\frac{x^2-\frac{17}{2}}2}. \]
Так как \(2>1\), сравниваем показатели: \[ \frac{x^2-\frac{17}{2}}2\ge -7, \] \[ x^2\ge-\frac{11}{2}. \]
Это верно при любом \(x\). Поэтому \[ \boxed{x\in\mathbb R}. \]
б)
\[ 0{,}9^{x^2-4x}<\left(\frac{10}{9}\right)^3. \]
Так как \[ \frac{10}{9}=(0{,}9)^{-1}, \] то \[ 0{,}9^{x^2-4x}<0{,}9^{-3}. \]
Поскольку \(0<0{,}9<1\), знак меняется: \[ x^2-4x>-3, \] \[ x^2-4x+3>0, \] \[ (x-1)(x-3)>0. \]
\[ \boxed{x\in(-\infty;1)\cup(3;+\infty)}. \]
в)
\[ 14^{x^2+x}<196=14^2. \]
Так как \(14>1\): \[ x^2+x<2, \] \[ x^2+x-2<0, \] \[ (x+2)(x-1)<0. \]
\[ \boxed{x\in(-2;1)}. \]
г)
\[ \left(\frac1{\sqrt3}\right)^{3x^2-13x}>9. \]
Представим \(9\) как степень основания: \[ 9=\left(\frac1{\sqrt3}\right)^{-4}. \]
Так как \(0<\frac1{\sqrt3}<1\), знак меняется: \[ 3x^2-13x<-4, \] \[ 3x^2-13x+4<0. \]
Корни: \[ x_1=\frac13,\qquad x_2=4. \]
\[ \boxed{x\in\left(\frac13;4\right)}. \]
Реши номер 8.39
8.39
а)
\[ 2^x+2^{x+2}\le20. \]
Вынесем \(2^x\): \[ 2^x(1+2^2)\le20, \] \[ 5\cdot2^x\le20, \] \[ 2^x\le4=2^2. \]
Так как \(2>1\), получаем: \[ \boxed{x\le2}. \]
б)
\[ 3^{2x-1}-3^{2x-3}<\frac83. \]
Вынесем \(3^{2x-3}\): \[ 3^{2x-3}(3^2-1)<\frac83, \] \[ 8\cdot3^{2x-3}<\frac83, \] \[ 3^{2x-3}<\frac13=3^{-1}. \]
Так как \(3>1\): \[ 2x-3<-1, \] \[ \boxed{x<1}. \]
в)
\[ \left(\frac15\right)^{3x+4} +\left(\frac15\right)^{3x+5}>6. \]
Вынесем \(\left(\frac15\right)^{3x+4}\): \[ \left(\frac15\right)^{3x+4} \left(1+\frac15\right)>6, \] \[ \frac65\left(\frac15\right)^{3x+4}>6, \] \[ \left(\frac15\right)^{3x+4}>5 =\left(\frac15\right)^{-1}. \]
Поскольку \(0<\frac15<1\), знак при сравнении показателей меняется: \[ 3x+4<-1, \] \[ \boxed{x<-\frac53}. \]
г)
\[ 0{,}3^{6x-1}-0{,}3^{6x}\ge0{,}7. \]
Вынесем \(0{,}3^{6x-1}\): \[ 0{,}3^{6x-1}(1-0{,}3)\ge0{,}7, \] \[ 0{,}7\cdot0{,}3^{6x-1}\ge0{,}7, \] \[ 0{,}3^{6x-1}\ge1=0{,}3^0. \]
Так как \(0<0{,}3<1\), знак меняется: \[ 6x-1\le0, \] \[ \boxed{x\le\frac16}. \]
Ответ:
\[ \boxed{\text{а) }x\le2;\quad \text{б) }x<1;\quad \text{в) }x<-\frac53;\quad \text{г) }x\le\frac16.} \]
