Реши задание на изображении

Краткий ответ:

а) \(\boxed{(0;3]}\)

б) \(\boxed{(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;4\right]}\)

в) \(\boxed{\varnothing}\)

г) \(\boxed{[-1;0]}\)

д) \(\boxed{(-\infty;-1)\cup(-1;1]}\)

е) \(\boxed{(-\infty;-1)\cup(-1;1]}\)

При решении системы нужно найти пересечение решений всех входящих в неё неравенств.

а)

\[ 6x^2-54\le0 \] \[ 6(x^2-9)\le0\quad\Rightarrow\quad x^2\le9 \] \[ -3\le x\le3. \]

Второе неравенство: \[ x+3>3\quad\Rightarrow\quad x>0. \]

Пересечение: \[ [-3;3]\cap(0;+\infty)=\boxed{(0;3]}. \]

б)

\[ 3x^2+2x-1\ge0 \] \[ (3x-1)(x+1)\ge0. \]

Корни: \(-1\) и \(\frac13\). Так как коэффициент при \(x^2\) положительный: \[ x\in(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;+\infty\right). \]

Второе неравенство: \[ 2-\frac{x}{2}\ge0 \quad\Rightarrow\quad 4-x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le4. \]

Пересечение: \[ \boxed{(-\infty;-1]\cup\left[\frac13;4\right]}. \]

в)

\[ 6x^2+x+1\le0. \]

Дискриминант: \[ D=1^2-4\cdot6\cdot1=-23<0. \]

При \(a=6>0\) квадратный трёхчлен всегда положителен, поэтому это неравенство решений не имеет: \[ \boxed{\varnothing}. \]

Следовательно, и вся система решений не имеет.

г)

\[ x^2-1\le0 \quad\Rightarrow\quad (x-1)(x+1)\le0 \quad\Rightarrow\quad -1\le x\le1. \]

\[ x^2-3x\ge0 \quad\Rightarrow\quad x(x-3)\ge0 \quad\Rightarrow\quad x\le0\ \text{или}\ x\ge3. \]

Пересечение: \[ [-1;1]\cap\bigl((-\infty;0]\cup[3;+\infty)\bigr) =\boxed{[-1;0]}. \]

д)

\[ x^2+5>0. \]

Так как \(x^2\ge0\), то \(x^2+5>0\) при любом \(x\).

Второе неравенство: \[ x^2+5x>0 \quad\Rightarrow\quad x(x+5)>0. \]

Произведение положительно: \[ x<-5\quad\text{или}\quad x>0. \]

Ответ: \[ \boxed{(-\infty;-5)\cup(0;+\infty)}. \]

е)

\[ -(x+1)^2<0. \]

Это выполняется при \[ (x+1)^2>0\quad\Rightarrow\quad x\ne-1. \]

Второе неравенство: \[ 1-x\ge0\quad\Rightarrow\quad x\le1. \]

Исключаем из \(x\le1\) число \(-1\): \[ \boxed{(-\infty;-1)\cup(-1;1]}. \]

Проверка: концы, где стоят \(\le\) или \(\ge\), включаются; при строгих знаках \(<\) и \(>\) корни не включаются.