Реши задание на изображении
Упрощение квадратных корней
Я рассматриваю несколько выражений с квадратными корнями. Первое, по-видимому, имеет вид \(\sqrt{18r}\), затем идут \(\sqrt{72r}\) и \(\sqrt{2r}\). Похоже, их следует упростить, что, возможно, приведёт к \(7\sqrt{2r}\).
В следующей части у меня есть \(\sqrt{363} - \sqrt{192} + \sqrt{27}\). Это упрощается до \(6\sqrt{3}\). Затем у меня есть \(\sqrt{675} - \sqrt{432} + \sqrt{48}\), что даёт \(7\sqrt{3}\). Наконец, я вижу \((2\sqrt{10} + \sqrt{5})^2\).
Уточнение проверок и форматирования
Я планирую добавить краткую проверку для 5/6 и задаюсь вопросом, следует ли сформулировать всё более ясно. Думаю, нет необходимости использовать приближение. Следует убедиться, что в первых трёх пунктах слагаемые приведены к единому виду, а раскрытие скобок и разность квадратов понятны. Я оформлю выражения в фигурных скобках и, возможно, уточню, что читаю \(r\) как находящееся под корнем. Если на изображении есть неоднозначность, я могу уточнить, что именно требуется.
Краткий ответ:
- \(7\sqrt{2r}\)
- \(6\sqrt3\)
- \(7\sqrt3\)
- \(45+20\sqrt2\)
- \(39\)
- \(22\)
Решение
Используем правило: \[ \sqrt{k^2a}=k\sqrt a. \]
1. При \(r\ge 0\): \[ 4\sqrt{18r}-\sqrt{72r}+\sqrt{2r} \] \[ =4\sqrt{9\cdot2r}-\sqrt{36\cdot2r}+\sqrt{2r} \] \[ =12\sqrt{2r}-6\sqrt{2r}+\sqrt{2r} =7\sqrt{2r}. \]
2. \[ \sqrt{363}-\sqrt{192}+\sqrt{27} =11\sqrt3-8\sqrt3+3\sqrt3 =6\sqrt3. \]
3. \[ \sqrt{675}-\sqrt{432}+\sqrt{48} =15\sqrt3-12\sqrt3+4\sqrt3 =7\sqrt3. \]
4. Применим формулу \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\): \[ (2\sqrt{10}+\sqrt5)^2 =40+4\sqrt{50}+5 \] \[ =45+4\cdot5\sqrt2 =45+20\sqrt2. \]
5. Разность квадратов: \[ (3\sqrt7-2\sqrt6)(3\sqrt7+2\sqrt6) =(3\sqrt7)^2-(2\sqrt6)^2 =63-24=39. \]
6. \[ (\sqrt{41}+\sqrt{19})(\sqrt{41}-\sqrt{19}) =(\sqrt{41})^2-(\sqrt{19})^2 =41-19=22. \]
Проверка: в пунктах 1–3 приведены подобные радикалы, а в пунктах 5–6 использована формула разности квадратов.
Обсуждение
6 сообщенийКак ты решил первое
В первом выражении было: \[ 4\sqrt{18r}-\sqrt{72r}+\sqrt{2r}. \]
Выделим из подкоренных выражений полные квадраты:
\[ 18r=9\cdot2r,\qquad 72r=36\cdot2r. \]
Тогда при \(r\ge 0\):
\[ \sqrt{18r}=\sqrt{9\cdot2r}=3\sqrt{2r}, \] \[ \sqrt{72r}=\sqrt{36\cdot2r}=6\sqrt{2r}. \]
Подставляем:
\[ 4\cdot3\sqrt{2r}-6\sqrt{2r}+\sqrt{2r} \]
\[ =12\sqrt{2r}-6\sqrt{2r}+\sqrt{2r} =(12-6+1)\sqrt{2r} =\boxed{7\sqrt{2r}}. \]
Здесь мы сложили подобные слагаемые — те, у которых одинаковая часть \(\sqrt{2r}\).
Откуда взялся один
Один — это коэффициент последнего слагаемого:
\[ \sqrt{2r}=1\cdot\sqrt{2r}. \]
Единицу обычно не записывают перед корнем. Поэтому:
\[ 12\sqrt{2r}-6\sqrt{2r}+\sqrt{2r} = (12-6+1)\sqrt{2r} = 7\sqrt{2r}. \]
Откуда взялся один
Единица была перед последним корнем, просто её обычно не пишут:
\[ \sqrt{2r}=1\cdot\sqrt{2r}. \]
Поэтому:
\[ 12\sqrt{2r}-6\sqrt{2r}+\sqrt{2r} = 12\sqrt{2r}-6\sqrt{2r}+1\sqrt{2r}. \]
Теперь складываем коэффициенты:
\[ 12-6+1=7. \]
Значит,
\[ \boxed{7\sqrt{2r}}. \]
Например, так же: \(3x+x=3x+1x=4x\).
