Реши задание на изображении
Объяснение главных значений обратных тригонометрических функций
Мне нужно уточнить главные значения для arcsin и arccos. В частности, arcsin a принимает значения из [-π/2, π/2], тогда как arccos a изменяется в диапазоне [0, π]. Затем я приведу краткое решение. Я также использую «Ответ» для своего ответа и «Решение» для раздела с решением.
После этого следует включить естественный следующий вопрос, например: «Реши похожее уравнение...», чтобы предложить дополнительную практику.
[[NEXT]] Реши ещё одно похожее уравнение...
Уточнение математических обозначений
Хорошо, я думаю о том, как правильно оформить математические уравнения, стараясь сохранить простоту без markdown. Нужно убедиться, что любой ответ понятен, особенно в случае тригонометрических функций вроде arcsin и возможной неоднозначности относительно того, идёт ли речь о sin(x/3) или (sin x)/3.
Например, важно внимательно интерпретировать дроби, выражая \(\sin \frac{x}{3} = -\frac{1}{2}\) именно так. Я также хочу сохранять единообразие в использовании радиан и pi в объяснениях. Постараемся добиться ясности!
Понятное форматирование математических ответов
Для начала у меня есть предварительные ответы для уравнений: 1) a = 0, b = 3π/8, c = -√3/3. Нужно убедиться, что уравнения хорошо оформлены, и учесть ключевые шаги для обратных функций, таких как arcsin и arccos, включая их диапазоны.
Например, можно записать \(\arcsin(\cos \pi/8) = \arcsin(\sin 3\pi/8) = 3\pi/8\). Следует перечислить общие правила, например \(\sin t = -1\) означает \(t = -\pi/2 + 2\pi k\). Добавление проверок после каждого шага может повысить ясность. Продолжим совершенствовать ответ!
Краткий ответ
Вычислите:
а) \(0\);
б) \(\dfrac{3\pi}{8}\);
в) \(-\dfrac{\sqrt3}{3}\).Решения уравнений, \(k\in\mathbb Z\):
- \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\);
- \(x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k\) или \(x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k\);
- \(x=-\dfrac{\pi}{2}+6\pi k\) или \(x=\dfrac{7\pi}{2}+6\pi k\);
- \(x=\dfrac{3\pi}{4}+3\pi k\).
1. Вычисления
а)
Используем значения обратных тригонометрических функций:
\[ \arcsin 1=\frac{\pi}{2},\qquad \arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},\qquad \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}. \]
Тогда
\[ \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3} =\frac{3\pi-\pi-2\pi}{6}=0. \]
б)
\[ \cos\frac{\pi}{8} =\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right) =\sin\frac{3\pi}{8}. \]
Так как \(\dfrac{3\pi}{8}\) входит в область значений \(\arcsin\), то
\[ \arcsin\left(\cos\frac{\pi}{8}\right) =\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{8}\right) =\frac{3\pi}{8}. \]
в)
\[ \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3},\qquad \arccos\frac12=\frac{\pi}{3}. \]
Следовательно,
\[ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right) =\operatorname{ctg}\frac{2\pi}{3} =\frac{\cos\frac{2\pi}{3}}{\sin\frac{2\pi}{3}} =\frac{-\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}} =-\frac{\sqrt3}{3}. \]
2. Решение уравнений
Полезное правило:
\[ \sin t=\sin\alpha \Longrightarrow \begin{cases} t=\alpha+2\pi k,\\ t=\pi-\alpha+2\pi k. \end{cases} \]
1) \(\sin x=-1\)
Синус равен \(-1\) при аргументе
\[ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k. \]
2) \(2\sin 2x=\sqrt3\)
Делим на \(2\):
\[ \sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}. \]
Отсюда
\[ 2x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad\text{или}\quad 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k. \]
Делим на \(2\):
\[ x=\frac{\pi}{6}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi k. \]
3) \(\sin\dfrac{x}{3}=-\dfrac12\)
Пусть \(t=\dfrac{x}{3}\). Тогда
\[ t=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi k. \]
Умножаем на \(3\):
\[ x=-\frac{\pi}{2}+6\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{2}+6\pi k. \]
4) \(\sin\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)
Синус равен нулю, если его аргумент равен \(\pi k\):
\[ \frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}=\pi k. \]
Тогда
\[ \frac{x}{3}=\frac{\pi}{4}+\pi k, \]
\[ x=\frac{3\pi}{4}+3\pi k. \]
Подстановка показывает, что во всех случаях исходные равенства выполняются.
