В-1 ,выполни подробно,с применением формул,по порядку

По фото решаем 1 вариант. В предыдущем ответе пункты В1 и В2 были прочитаны неверно, поэтому исправляю решение.

Основные формулы

\[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y, \]

\[ \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y, \]

\[ \log_a x^n=n\log_a x, \]

\[ a^{\log_a x}=x. \]

---

А1. Вычислите

а)

\[ \log_2 32+\log_2\frac12 \]

Используем формулу суммы логарифмов:

\[ \log_2\left(32\cdot\frac12\right) =\log_2 16. \]

Так как \(2^4=16\), то

\[ \boxed{4}. \]

---

б)

\[ \log_2 50-2\log_2 5 \]

Преобразуем второй член:

\[ 2\log_2 5=\log_2 5^2=\log_2 25. \]

Тогда

\[ \log_2 50-\log_2 25 =\log_2\frac{50}{25} =\log_2 2 =\boxed{1}. \]

---

в)

\[ 3^{\log_3 15-\log_3 5}+1 \]

По формуле разности логарифмов:

\[ \log_3 15-\log_3 5 =\log_3\frac{15}{5} =\log_3 3=1. \]

Следовательно,

\[ 3^1+1=3+1=\boxed{4}. \]

---

А2. Найдите значение выражения

\[ \log_3(9b), \qquad \text{если } \log_3 b=5. \]

Используем формулу логарифма произведения:

\[ \log_3(9b)=\log_3 9+\log_3 b. \]

Так как

\[ \log_3 9=2,\qquad \log_3 b=5, \]

получаем:

\[ \log_3(9b)=2+5=\boxed{7}. \]

---

А3. Упростите выражение

\[ 2^{\log_2 7}+2\log_5 15-\log_5 9. \]

По формуле \(a^{\log_a x}=x\):

\[ 2^{\log_2 7}=7. \]

Далее:

\[ 2\log_5 15=\log_5 15^2. \]

Поэтому

\[ 7+\log_5 15^2-\log_5 9 = 7+\log_5\frac{15^2}{9}. \]

Вычислим:

\[ \frac{15^2}{9}=\frac{225}{9}=25. \]

Тогда

\[ 7+\log_5 25=7+2=\boxed{9}. \]

---

В1. Найдите значение выражения

\[ \log_{a^2}\left(\frac{mn^3}{a}\right), \]

если

\[ \log_{a^2}\sqrt m=\log_{a^2}n=1. \]

Так как

\[ \sqrt m=m^{1/2}, \]

то

\[ \log_{a^2}\sqrt m =\frac12\log_{a^2}m=1. \]

Следовательно,

\[ \log_{a^2}m=2. \]

По условию:

\[ \log_{a^2}n=1. \]

Кроме того,

\[ a=(a^2)^{1/2}, \]

поэтому

\[ \log_{a^2}a=\frac12. \]

Теперь применяем свойства логарифмов:

\[ \begin{aligned} \log_{a^2}\left(\frac{mn^3}{a}\right) &=\log_{a^2}m+\log_{a^2}n^3-\log_{a^2}a\\ &=\log_{a^2}m+3\log_{a^2}n-\log_{a^2}a\\ &=2+3\cdot1-\frac12\\ &=\frac92. \end{aligned} \]

\[ \boxed{\frac92} \]

---

В2. Найдите значение выражения

\[ (0{,}25)^{\lg 2}\cdot(0{,}04)^{\lg 2}\cdot10^{\lg 8}. \]

Объединим первые два множителя:

\[ (0{,}25)^{\lg 2}\cdot(0{,}04)^{\lg 2} = (0{,}25\cdot0{,}04)^{\lg 2}. \]

Вычислим произведение:

\[ 0{,}25\cdot0{,}04=0{,}01=10^{-2}. \]

Также:

\[ 10^{\lg 8}=8. \]

Тогда

\[ (10^{-2})^{\lg 2}\cdot8 = 10^{-2\lg 2}\cdot8. \]

Так как

\[ 2\lg2=\lg 2^2=\lg4, \]

получаем:

\[ 10^{-2\lg2}=10^{-\lg4}=\frac14. \]

Следовательно,

\[ \frac14\cdot8=\boxed{2}. \]

Ответ:

\[ \boxed{\text{А1: }4;\ 1;\ 4} \]

\[ \boxed{\text{А2: }7,\qquad \text{А3: }9,\qquad \text{В1: }\frac92,\qquad \text{В2: }2} \]

2 вариант

Основные формулы

\[ \log_a(xy)=\log_a x+\log_a y, \]

\[ \log_a\frac{x}{y}=\log_a x-\log_a y, \]

\[ \log_a x^n=n\log_a x, \]

\[ a^{\log_a b}=b. \]

---

А1. Вычислите

а)

\[ \log_5 75+\log_5(25)^{-1} \]

Так как

\[ (25)^{-1}=\frac1{25}, \]

то применяем формулу суммы логарифмов:

\[ \begin{aligned} \log_5 75+\log_5\frac1{25} &=\log_5\left(75\cdot\frac1{25}\right)\\ &=\log_5 3. \end{aligned} \]

\[ \boxed{\log_5 3} \]

---

б)

\[ \log_3 9-\log_3 27 \]

Используем формулу разности логарифмов:

\[ \begin{aligned} \log_3 9-\log_3 27 &=\log_3\frac{9}{27}\\ &=\log_3\frac13. \end{aligned} \]

Так как

\[ \frac13=3^{-1}, \]

то

\[ \log_3\frac13=\log_3 3^{-1}=-1. \]

\[ \boxed{-1} \]

---

в)

\[ 8^{\log_2 3}-11 \]

Представим число \(8\) как степень двойки:

\[ 8=2^3. \]

Тогда

\[ \begin{aligned} 8^{\log_2 3}-11 &=(2^3)^{\log_2 3}-11\\ &=2^{3\log_2 3}-11\\ &=\left(2^{\log_2 3}\right)^3-11\\ &=3^3-11\\ &=27-11\\ &=16. \end{aligned} \]

\[ \boxed{16} \]

---

А2. Найдите значение выражения

\[ \log_2 a^{\frac13}, \]

если

\[ \log_4 a^3=9. \]

По формуле логарифма степени:

\[ \log_4 a^3=3\log_4 a. \]

Следовательно,

\[ 3\log_4 a=9, \]

\[ \log_4 a=3. \]

Так как \(4=2^2\), то

\[ \log_4 a=\frac{\log_2 a}{\log_2 4} =\frac{\log_2 a}{2}. \]

Получаем:

\[ \frac12\log_2 a=3, \]

\[ \log_2 a=6. \]

Теперь найдём искомое выражение:

\[ \begin{aligned} \log_2 a^{\frac13} &=\frac13\log_2 a\\ &=\frac13\cdot6\\ &=2. \end{aligned} \]

\[ \boxed{2} \]

---

А3. Найдите значение выражения

\[ \log_{12}\sqrt{14}\cdot\log_{14}\sqrt{12}. \]

Представим корни как степени:

\[ \sqrt{14}=14^{\frac12},\qquad \sqrt{12}=12^{\frac12}. \]

Тогда

\[ \begin{aligned} \log_{12}\sqrt{14}\cdot\log_{14}\sqrt{12} &=\left(\frac12\log_{12}14\right) \left(\frac12\log_{14}12\right)\\ &=\frac14\left(\log_{12}14\cdot\log_{14}12\right). \end{aligned} \]

Используем свойство взаимных логарифмов:

\[ \log_{12}14\cdot\log_{14}12=1. \]

Следовательно,

\[ \frac14\cdot1=\boxed{\frac14}. \]

---

В1. Найдите значение выражения

\[ \log_{x^2}\left(\frac{x^2}{a^3b^2}\right), \]

если

\[ \log_{x^2}\frac1a=\log_{x^2}\frac1b=1. \]

Из условия:

\[ \log_{x^2}\frac1a =\log_{x^2}a^{-1} =-\log_{x^2}a=1. \]

Значит,

\[ \log_{x^2}a=-1. \]

Аналогично:

\[ \log_{x^2}b=-1. \]

Раскроем логарифм дроби и степеней:

\[ \begin{aligned} \log_{x^2}\left(\frac{x^2}{a^3b^2}\right) &=\log_{x^2}x^2-\log_{x^2}a^3-\log_{x^2}b^2\\ &=1-3\log_{x^2}a-2\log_{x^2}b. \end{aligned} \]

Подставим найденные значения:

\[ \begin{aligned} 1-3(-1)-2(-1) &=1+3+2\\ &=6. \end{aligned} \]

\[ \boxed{6} \]

---

В2. Найдите значение выражения

\[ 36^{0{,}5-\log_6 3} -\frac4{15}\log_{0{,}09}\sqrt{0{,}027}. \]

Первый множитель

Представим \(36\) как \(6^2\):

\[ \begin{aligned} 36^{0{,}5-\log_6 3} &=(6^2)^{0{,}5-\log_6 3}\\ &=6^{2(0{,}5-\log_6 3)}\\ &=6^{1-2\log_6 3}\\ &=\frac{6}{6^{2\log_6 3}}. \end{aligned} \]

Так как

\[ 6^{\log_6 3}=3, \]

то

\[ 6^{2\log_6 3} =\left(6^{\log_6 3}\right)^2 =3^2=9. \]

Следовательно,

\[ 36^{0{,}5-\log_6 3} =\frac69=\frac23. \]

Второй множитель

Представим числа через \(0{,}3\):

\[ 0{,}09=(0{,}3)^2, \]

\[ 0{,}027=(0{,}3)^3. \]

Тогда

\[ \sqrt{0{,}027} =\sqrt{(0{,}3)^3} =(0{,}3)^{\frac32}. \]

Следовательно,

\[ \begin{aligned} \log_{0{,}09}\sqrt{0{,}027} &=\log_{(0{,}3)^2}(0{,}3)^{\frac32}\\ &=\frac{\frac32}{2}\\ &=\frac34. \end{aligned} \]

Теперь вычислим всё выражение:

\[ \begin{aligned} \frac23-\frac4{15}\cdot\frac34 &=\frac23-\frac{1}{5}\\ &=\frac{10}{15}-\frac{3}{15}\\ &=\frac7{15}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{\frac7{15}} \]

---

Ответы

\[ \boxed{\text{А1: }\log_5 3;\ -1;\ 16} \]

\[ \boxed{\text{А2: }2} \]

\[ \boxed{\text{А3: }\frac14} \]

\[ \boxed{\text{В1: }6} \]

\[ \boxed{\text{В2: }\frac7{15}} \]