Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Вычислите:

а) \(0\)

б) \(\dfrac{3\pi}{8}\)

в) \(-\dfrac{\sqrt3}{3}\)

2. Решите уравнения \((k\in\mathbb Z)\):

1. \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k\)

2. \(\displaystyle x=\frac{\pi}{6}+\pi k\) или \(\displaystyle x=\frac{\pi}{3}+\pi k\)

3. \(\displaystyle x=-\frac{\pi}{2}+6\pi k\) или \(\displaystyle x=\frac{7\pi}{2}+6\pi k\)

4. \(\displaystyle x=\frac{3\pi}{4}+3\pi k\)

---

1. Вычисления

а)

Используем табличные значения:

\[ \arcsin 1=\frac{\pi}{2},\qquad \arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},\qquad \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}. \]

Тогда

\[ \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3} =\frac{3\pi-\pi-2\pi}{6}=0. \]

б)

\[ \cos\frac{\pi}{8} =\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right) =\sin\frac{3\pi}{8}. \]

Так как \(\dfrac{3\pi}{8}\in\left[-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right]\), то

\[ \arcsin\left(\cos\frac{\pi}{8}\right)=\frac{3\pi}{8}. \]

в)

\[ \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3},\qquad \arccos\frac12=\frac{\pi}{3}. \]

Следовательно,

\[ \cot\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right) =\cot\frac{2\pi}{3} =\frac{\cos\frac{2\pi}{3}}{\sin\frac{2\pi}{3}} =\frac{-\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}} =-\frac{\sqrt3}{3}. \]

---

2. Уравнения

1) \(\sin x=-1\)

Синус равен \(-1\) при

\[ x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

2) \(2\sin 2x=\sqrt3\)

\[ \sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}. \]

По таблице:

\[ 2x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad\text{или}\quad 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k. \]

Делим на \(2\):

\[ x=\frac{\pi}{6}+\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{\pi}{3}+\pi k. \]

3) \(\sin\dfrac{x}{3}=-\dfrac12\)

Пусть \(t=\dfrac{x}{3}\). Тогда

\[ \sin t=-\frac12. \]

Отсюда

\[ t=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi k. \]

Умножаем на \(3\):

\[ x=-\frac{\pi}{2}+6\pi k \quad\text{или}\quad x=\frac{7\pi}{2}+6\pi k. \]

4) \(\sin\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)

Синус равен нулю, если его аргумент равен \(\pi k\):

\[ \frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}=\pi k. \]

Тогда

\[ \frac{x}{3}=\frac{\pi}{4}+\pi k, \]

\[ x=\frac{3\pi}{4}+3\pi k,\qquad k\in\mathbb Z. \]

Проверка, например, для второго уравнения:

\[ 2\sin\left(2\left(\frac{\pi}{6}+\pi k\right)\right) =2\sin\left(\frac{\pi}{3}+2\pi k\right) =\sqrt3. \]