Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. Вычислите:
   а) \(0\);
   б) \(\dfrac{3\pi}{8}\);
   в) \(-\dfrac{\sqrt3}{3}\).

2. Решения уравнений \((k\in\mathbb Z)\):

1. \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi k\);
2. \(x=\dfrac{\pi}{6}+\pi k\) или \(x=\dfrac{\pi}{3}+\pi k\);
3. \(x=-\dfrac{\pi}{2}+6\pi k\) или \(x=\dfrac{7\pi}{2}+6\pi k\);
4. \(x=\dfrac{3\pi}{4}+3\pi k\).

1. Вычисления

а)

Используем табличные значения:

\[ \arcsin 1=\frac{\pi}{2},\qquad \arcsin\frac12=\frac{\pi}{6},\qquad \arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}. \]

Тогда

\[ \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3} =\frac{3\pi-\pi-2\pi}{6}=0. \]

б)

\[ \cos\frac{\pi}{8} =\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8}\right) =\sin\frac{3\pi}{8}. \]

Так как \(\dfrac{3\pi}{8}\) входит в область значений арксинуса,

\[ \arcsin\left(\cos\frac{\pi}{8}\right) =\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{8}\right) =\frac{3\pi}{8}. \]

в)

\[ \arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}, \qquad \arccos\frac12=\frac{\pi}{3}. \]

Поэтому

\[ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\right) =\operatorname{ctg}\frac{2\pi}{3} =\frac{\cos\frac{2\pi}{3}}{\sin\frac{2\pi}{3}} =\frac{-\frac12}{\frac{\sqrt3}{2}} =-\frac{\sqrt3}{3}. \]

2. Уравнения

1) \(\sin x=-1\)

Синус равен \(-1\) при угле \(-\dfrac{\pi}{2}\):

\[ \boxed{x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k}. \]

2) \(2\sin 2x=\sqrt3\)

Делим на \(2\):

\[ \sin 2x=\frac{\sqrt3}{2}. \]

Отсюда

\[ 2x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad\text{или}\quad 2x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k. \]

Делим на \(2\):

\[ \boxed{x=\frac{\pi}{6}+\pi k} \quad\text{или}\quad \boxed{x=\frac{\pi}{3}+\pi k}. \]

3) \(\sin\dfrac{x}{3}=-\dfrac12\)

Пусть \(t=\dfrac{x}{3}\). Тогда

\[ \sin t=-\frac12. \]

Следовательно,

\[ t=-\frac{\pi}{6}+2\pi k \quad\text{или}\quad t=\frac{7\pi}{6}+2\pi k. \]

Умножаем на \(3\):

\[ \boxed{x=-\frac{\pi}{2}+6\pi k} \quad\text{или}\quad \boxed{x=\frac{7\pi}{2}+6\pi k}. \]

4) \(\sin\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)=0\)

Синус равен нулю, если его аргумент равен \(\pi k\):

\[ \frac{x}{3}-\frac{\pi}{4}=\pi k. \]

Тогда

\[ \frac{x}{3}=\frac{\pi}{4}+\pi k, \]

\[ \boxed{x=\frac{3\pi}{4}+3\pi k}. \]

Проверка: в последнем уравнении аргумент становится \(\pi k\), а \(\sin(\pi k)=0\); в остальных случаях подстановка даёт соответственно \(-1\), \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) и \(-\dfrac12\).