Реши задание на изображении

Краткий ответ

1. а) \(-\dfrac{\pi}{4}\);
   б) \(\dfrac{\pi}{2}\);
   в) \(-\dfrac12\).

2. а) \(t=\pi n,\ n\in\mathbb Z\);
   б) \(t=\dfrac{\pi}{4}+2\pi n\) или \(t=\dfrac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z\);
   в) решений нет.

1. Вычисления

Помним: \(\arcsin x\) принимает значения от \(-\dfrac{\pi}{2}\) до \(\dfrac{\pi}{2}\).

а)
\[ \arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},\qquad \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2},\qquad \arcsin0=0. \]

Тогда: \[ \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}-2\cdot0 =-\frac{\pi}{4}. \]

б)
\[ \operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}=1, \] поэтому \[ \arcsin\left(\operatorname{ctg}\frac{\pi}{4}\right) =\arcsin1=\frac{\pi}{2}. \]

в)
\[ \arcsin\left(-\frac12\right)=-\frac{\pi}{6},\qquad \arcsin1=\frac{\pi}{2}. \]

Следовательно, \[ \cos\left(-\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{2}\right) =\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) =-\frac12. \]

2. Уравнения

а)
Синус равен нулю при \(t=0,\pi,2\pi,\ldots\), значит: \[ \boxed{t=\pi n,\quad n\in\mathbb Z}. \]

б)
\[ \frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}. \] Синус принимает это значение при углах \(\dfrac{\pi}{4}\) и \(\dfrac{3\pi}{4}\). С учётом периода \(2\pi\): \[ \boxed{t=\frac{\pi}{4}+2\pi n\ \text{или}\ t=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z}. \]

в)
Для любого действительного \(t\): \[ -1\le \sin t\le1. \] Но \(-\sqrt3<-1\), поэтому: \[ \boxed{\text{решений нет}}. \]

Проверка: \(\sin\dfrac{\pi}{4}=\sin\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\), а \(\sin(\pi n)=0\).