Реши задание на изображении

Краткий ответ: \[ \boxed{(x,y)=(27,1)\ \text{или}\ (x,y)=(-1,-27)} \]

Решение.

Сделаем замену: \[ a=\sqrt[3]{x},\qquad b=\sqrt[3]{y}. \]

Тогда система принимает вид: \[ \begin{cases} a-b=2,\\ a^3b^3=27. \end{cases} \]

Так как \(27=3^3\), получаем: \[ (ab)^3=3^3 \quad\Rightarrow\quad ab=3. \]

Итак: \[ \begin{cases} a-b=2,\\ ab=3. \end{cases} \]

Из первого уравнения \(a=b+2\). Подставим во второе: \[ b(b+2)=3, \] \[ b^2+2b-3=0, \] \[ (b-1)(b+3)=0. \]

Отсюда:

1. \(b=1\), тогда \(a=3\): \[ x=a^3=27,\qquad y=b^3=1. \]

2. \(b=-3\), тогда \(a=-1\): \[ x=a^3=-1,\qquad y=b^3=-27. \]

Проверка: \[ \sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{1}=3-1=2,\qquad 27\cdot1=27; \] \[ \sqrt[3]{-1}-\sqrt[3]{-27}=-1-(-3)=2,\qquad (-1)(-27)=27. \]

Оба решения подходят.