Реши задание на изображении

Краткий ответ:

\[ \text{а) }\int \sin 5x\,dx=-\frac{\cos 5x}{5}+C; \]

\[ \text{б) }\int\left(6x+\frac13\right)^3dx =\frac{\left(6x+\frac13\right)^4}{24}+C; \]

\[ \text{в) }\int\frac{dx}{e^{2x}} =-\frac{1}{2e^{2x}}+C, \qquad \int 7^{3x}dx=\frac{7^{3x}}{3\ln 7}+C. \]

Решение

а) Используем правило:

\[ \int\sin ax\,dx=-\frac{\cos ax}{a}+C. \]

При \(a=5\):

\[ \int\sin5x\,dx=-\frac{\cos5x}{5}+C. \]

Проверка:

\[ \left(-\frac{\cos5x}{5}\right)'=\sin5x. \]

б) Сделаем замену:

\[ u=6x+\frac13,\qquad du=6\,dx,\qquad dx=\frac{du}{6}. \]

Тогда

\[ \int\left(6x+\frac13\right)^3dx =\frac16\int u^3du =\frac16\cdot\frac{u^4}{4}+C =\frac{u^4}{24}+C. \]

Возвращаем \(u\):

\[ \boxed{\frac{\left(6x+\frac13\right)^4}{24}+C}. \]

в)

\[ \frac1{e^{2x}}=e^{-2x}, \]

поэтому

\[ \int e^{-2x}dx=-\frac12e^{-2x}+C =-\frac1{2e^{2x}}+C. \]

Для показательной функции используем формулу:

\[ \int a^{kx}dx=\frac{a^{kx}}{k\ln a}+C. \]

Значит,

\[ \int7^{3x}dx=\frac{7^{3x}}{3\ln7}+C. \]

Проверка последнего результата:

\[ \left(\frac{7^{3x}}{3\ln7}\right)' =\frac{3\ln7\cdot7^{3x}}{3\ln7} =7^{3x}. \]