1.2.3 ответ
Вычисление векторов и углов
Я погружаюсь в работу с модулями и произведениями. Для модуля, равного 6: сначала я вычисляю различные косинусы для углов 45°, 90° и 135°, получая такие результаты, как 3√2, 0 и -3√2. Теперь, рассматривая длины, равные 1, для скалярного произведения, я рассчитываю углы от 0° до 180°. Для прямоугольника ABCD я установлю длины сторон и углы, проверяя взаимосвязи векторов для AB и AD и правильно соединяя диагонали.
Краткий ответ
\[ \text{а) }3\sqrt2;\quad \text{б) }0;\quad \text{в) }-3\sqrt2;\quad \text{г) }-6. \]
\[ \text{а) }90^\circ;\quad \text{б) }60^\circ;\quad \text{в) }180^\circ. \]
\[ \text{а) }0;\qquad \text{б) }16. \]
Решение
Используем формулу скалярного произведения:
\[ \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\alpha, \]
где \(\alpha\) — угол между векторами.
1
Так как \(|\vec a|=2\), \(|\vec b|=3\), то:
\[ \vec a\cdot\vec b=6\cos\alpha. \]
- \(\alpha=45^\circ\):
\[ 6\cos45^\circ=6\cdot\frac{\sqrt2}{2}=3\sqrt2. \]
- \(\alpha=90^\circ\):
\[ 6\cos90^\circ=0. \]
- \(\alpha=135^\circ\):
\[ 6\cos135^\circ=6\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-3\sqrt2. \]
- \(\alpha=180^\circ\):
\[ 6\cos180^\circ=-6. \]
2
Длины обоих векторов равны \(1\), поэтому:
\[ \vec a\cdot\vec b=\cos\alpha. \]
- \(\cos\alpha=0\Rightarrow \alpha=90^\circ\);
- \(\cos\alpha=0{,}5\Rightarrow \alpha=60^\circ\);
- \(\cos\alpha=-1\Rightarrow \alpha=180^\circ\).
3
В прямоугольнике \(AB\perp AD\), поэтому:
\[ \vec{AB}\cdot\vec{AD}=0. \]
Диагональ:
\[ AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5. \]
Так как \(\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}\), получаем:
\[ \vec{AB}\cdot\vec{AC} =\vec{AB}\cdot(\vec{AB}+\vec{AD}) =AB^2+0=4^2=16. \]
Обсуждение
2 сообщенияПолный ответ
Полное решение
Используем формулу скалярного произведения векторов:
\[ \vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha, \]
где \(\alpha\) — угол между векторами.
1
Дано:
\[ |\vec a|=2,\qquad |\vec b|=3. \]
Следовательно,
\[ |\vec a|\cdot|\vec b|=2\cdot3=6. \]
а) \(\alpha=45^\circ\)
\[ \vec a\cdot\vec b =6\cos45^\circ =6\cdot\frac{\sqrt2}{2} =3\sqrt2. \]
б) \(\alpha=90^\circ\)
\[ \vec a\cdot\vec b =6\cos90^\circ =6\cdot0 =0. \]
в) \(\alpha=135^\circ\)
\[ \vec a\cdot\vec b =6\cos135^\circ =6\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) =-3\sqrt2. \]
г) \(\alpha=180^\circ\)
\[ \vec a\cdot\vec b =6\cos180^\circ =6\cdot(-1) =-6. \]
Ответ:
\[ \boxed{3\sqrt2;\quad 0;\quad -3\sqrt2;\quad -6} \]
2
Длины обоих векторов равны \(1\), поэтому:
\[ \vec a\cdot\vec b =1\cdot1\cdot\cos\alpha =\cos\alpha. \]
а) Если \(\vec a\cdot\vec b=0\)
\[ \cos\alpha=0. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\alpha=90^\circ}. \]
б) Если \(\vec a\cdot\vec b=\frac12\)
\[ \cos\alpha=\frac12. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\alpha=60^\circ}. \]
в) Если \(\vec a\cdot\vec b=-1\)
\[ \cos\alpha=-1. \]
Следовательно,
\[ \boxed{\alpha=180^\circ}. \]
Ответ:
\[ \boxed{90^\circ;\quad 60^\circ;\quad 180^\circ} \]
3
Пусть \(ABCD\) — прямоугольник, причём:
\[ AB=4,\qquad AD=3. \]
а) Найдём \(\vec{AB}\cdot\vec{AD}\)
В прямоугольнике стороны \(AB\) и \(AD\) перпендикулярны:
\[ \angle BAD=90^\circ. \]
По формуле скалярного произведения:
\[ \vec{AB}\cdot\vec{AD} =AB\cdot AD\cdot\cos90^\circ. \]
Тогда:
\[ \vec{AB}\cdot\vec{AD} =4\cdot3\cdot0=0. \]
\[ \boxed{\vec{AB}\cdot\vec{AD}=0} \]
б) Найдём \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}\)
Диагональ \(\vec{AC}\) можно представить как сумму:
\[ \vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}. \]
Тогда:
\[ \vec{AB}\cdot\vec{AC} =\vec{AB}\cdot(\vec{AB}+\vec{AD}). \]
Раскроем скобки:
\[ \vec{AB}\cdot\vec{AC} =\vec{AB}\cdot\vec{AB} +\vec{AB}\cdot\vec{AD}. \]
Первое произведение равно квадрату длины вектора:
\[ \vec{AB}\cdot\vec{AB}=AB^2=4^2=16. \]
Второе произведение мы уже нашли:
\[ \vec{AB}\cdot\vec{AD}=0. \]
Поэтому:
\[ \vec{AB}\cdot\vec{AC}=16+0=16. \]
\[ \boxed{\vec{AB}\cdot\vec{AC}=16} \]
Итоговые ответы
\[ \boxed{ \begin{aligned} 1)&\quad 3\sqrt2;\ 0;\ -3\sqrt2;\ -6,\\ 2)&\quad 90^\circ;\ 60^\circ;\ 180^\circ,\\ 3)&\quad 0;\ 16. \end{aligned}} \]
