Ку
Решение биквадратных уравнений
Мне нужно предоставить ответы на русском языке для трёх биквадратных уравнений и обозначить основные шаги. Сначала я выполню замену \( t = x^2 \) или \( y^2 \), где \( t \geq 0 \), и решу получившиеся квадратные уравнения.
Для каждого уравнения:
а) \( x^4 - 5x^2 - 36 = 0 \) даёт \( x = \pm 3 \).
б) \( y^4 - 6y^2 + 8 = 0 \) даёт \( y = \pm \sqrt{2}, \pm 2 \).
в) \( 4x^4 - 5x^2 + 1 = 0 \) даёт \( x = \pm 1/2, \pm 1 \).
Я проверяю корни и сформулирую ответ кратко, включив «краткий ответ». Также можно предложить попробовать решить аналогичные задачи.
Объяснение переменной \( Y \)
Мне нужно уточнить переменную \( y \) и объяснить, почему я отбрасываю отрицательные значения. Также важно показать проверки — достаточно ли замены или разложения на множители. Составим краткий ответ на русском языке:
Краткий ответ:
а) \( x = ... \)
б) \( y = ... \)
в) \( x = ... \)
Здесь используется принцип решения биквадратных уравнений. Я выполняю замену \( t = x^2 \) или \( y^2 \), решая получившиеся квадратные уравнения и учитывая, что \( t \geq 0 \).
Для \( a) \) отрицательные значения, например -4, отбрасываются, поскольку \( x^2 \) не может быть отрицательным. Я проверю решения; для наглядности при \( b) \) и \( c) \) может быть полезно включить таблицу подстановки.
Краткий ответ:
- а) \(x=\pm3\)
- б) \(y=\pm\sqrt2,\ \pm2\)
- в) \(x=\pm\frac12,\ \pm1\)
Общий принцип
В уравнениях есть только \(x^4\) и \(x^2\), поэтому вводим замену:
\[ t=x^2,\qquad t\ge 0. \]
Тогда \(x^4=t^2\), решаем обычное квадратное уравнение, а затем возвращаемся к \(x\).
а) \(\boldsymbol{x^4-5x^2-36=0}\)
Пусть \(t=x^2\). Получаем:
\[ t^2-5t-36=0, \]
\[ (t-9)(t+4)=0. \]
\[ t=9\quad\text{или}\quad t=-4. \]
Так как \(t=x^2\ge0\), значение \(t=-4\) не подходит.
\[ x^2=9 \quad\Rightarrow\quad x=\pm3. \]
Проверка:
\[ 3^4-5\cdot3^2-36=81-45-36=0. \]
б) \(\boldsymbol{y^4-6y^2+8=0}\)
Пусть \(t=y^2\). Тогда:
\[ t^2-6t+8=0, \]
\[ (t-2)(t-4)=0. \]
\[ t=2\quad\text{или}\quad t=4. \]
Возвращаемся к \(y\):
\[ y^2=2\Rightarrow y=\pm\sqrt2, \]
\[ y^2=4\Rightarrow y=\pm2. \]
в) \(\boldsymbol{4x^4-5x^2+1=0}\)
Пусть \(t=x^2\). Получаем:
\[ 4t^2-5t+1=0, \]
\[ (4t-1)(t-1)=0. \]
\[ t=\frac14\quad\text{или}\quad t=1. \]
Следовательно,
\[ x^2=\frac14\Rightarrow x=\pm\frac12, \]
\[ x^2=1\Rightarrow x=\pm1. \]
Запомни: после замены \(t=x^2\) обязательно оставляй только \(t\ge0\), а из каждого положительного \(t\) получай два корня: \(x=\pm\sqrt t\).
