Реши 2 вариант
Краткий ответ
- График: \[ f(x)= \begin{cases} x-1, & x\le -1,\\ -x^2, & -1<x\le 2. \end{cases} \]
\[ D(f)=(-\infty;2],\qquad E(f)=(-\infty;0]. \]
Функция \[ y=\frac1{x^4}-3x^2 \] — чётная.
а) \(\;225^\circ=\frac{5\pi}{4},\quad 180^\circ=\pi\)
б) \(\;\frac{\pi}{6}=30^\circ,\quad 2\pi=360^\circ\)
- а) \(-1\)
б) \(\frac{\sqrt2}{2}\)
Решение
1. График кусочно-заданной функции
\[ f(x)= \begin{cases} x-1, & x\le -1,\\ -x^2, & -1<x\le 2. \end{cases} \]
Первая часть: \(y=x-1\), \(x\le -1\).
Это луч прямой. При \(x=-1\):
\[ y=-1-1=-2. \]
Точка \((-1;-2)\) закрашенная:
\[ \boxed{(-1;-2)} \]
Вторая часть: \(y=-x^2\), \(-1<x\le2\).
Это часть параболы, ветви направлены вниз:
- точка \((-1;-1)\) — выколотая, так как \(x=-1\) не входит;
- вершина \((0;0)\) — закрашенная;
- точка \((2;-4)\) — закрашенная.
Основные точки:
\[ (-1;-1)\ \circ,\qquad (0;0)\ \bullet,\qquad (2;-4)\ \bullet. \]
Свойства графика:
- область определения: \[ D(f)=(-\infty;2]; \]
- область значений: \[ E(f)=(-\infty;0]; \]
- нуль функции: \[ x=0; \]
- функция возрастает на \((-\infty;0]\);
- функция убывает на \([0;2]\);
- наибольшее значение: \[ f(0)=0; \]
- в точке \(x=-1\) имеется скачок: \[ f(-1)=-2,\qquad \lim_{x\to-1+}f(x)=-1. \]
2. Исследование функции на чётность
\[ f(x)=\frac1{x^4}-3x^2,\qquad x\ne0. \]
Область определения:
\[ D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty). \]
Она симметрична относительно нуля. Найдём \(f(-x)\):
\[ f(-x)=\frac1{(-x)^4}-3(-x)^2 =\frac1{x^4}-3x^2=f(x). \]
Следовательно,
\[ \boxed{\text{функция чётная}}. \]
Её график симметричен относительно оси \(Oy\).
3. Перевод единиц измерения
а) Градусы в радианы
Используем формулу:
\[ \alpha^\circ=\alpha\cdot\frac{\pi}{180}. \]
\[ 225^\circ=225\cdot\frac{\pi}{180} =\frac{5\pi}{4}. \]
\[ 180^\circ=180\cdot\frac{\pi}{180}=\pi. \]
б) Радианы в градусы
Используем формулу:
\[ \alpha=\alpha\cdot\frac{180^\circ}{\pi}. \]
\[ \frac{\pi}{6}\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=30^\circ. \]
\[ 2\pi\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=360^\circ. \]
4. Вычисление
а)
\[ \sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{2}-\sin\frac{3\pi}{4}\right). \]
Значения:
\[ \cos\frac{\pi}{2}=0,\qquad \sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \]
Тогда
\[ \sqrt2\left(0-\frac{\sqrt2}{2}\right) =-\frac{2}{2}=-1. \]
\[ \boxed{-1} \]
б)
\[ \cos\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{4} +\sin\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi}{4}. \]
\[ \cos\frac{\pi}{2}=0,\quad \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin\frac{\pi}{2}=1,\quad \sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. \]
\[ 0\cdot\frac{\sqrt2}{2} +1\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2}{2}. \]
\[ \boxed{\frac{\sqrt2}{2}} \]
