Построить график и функции и опиши ее свойства
Для видимого на фото пункта 124а:
Краткий ответ
\[ y=\frac13x^2-4x+4=\frac13(x-6)^2-8. \]
График — парабола, ветви направлены вверх.
Вершина: \(\boxed{(6;-8)}\), ось симметрии: \(\boxed{x=6}\).
Построение графика
Составим таблицу значений:
| \(x\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) | \(6\) | \(8\) | \(10\) | \(12\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(4\) | \(-\frac83\) | \(-\frac{20}3\) | \(-8\) | \(-\frac{20}3\) | \(-\frac83\) | \(4\) |
Нанеси точки:
\[ (0;4),\ (2;-\tfrac83),\ (4;-\tfrac{20}3),\ (6;-8), \] \[ (8;-\tfrac{20}3),\ (10;-\tfrac83),\ (12;4), \]
а затем плавно соедини их параболой.
Свойства функции
- Область определения:
\[ D(f)=(-\infty;+\infty). \]
- Область значений:
\[ E(f)=[-8;+\infty). \]
- Вершина:
\[ (6;-8). \]
Минимальное значение функции равно \(-8\) при \(x=6\). Максимального значения нет.
- Промежутки монотонности:
- функция убывает на \((-\infty;6]\);
- функция возрастает на \([6;+\infty)\).
- Нули функции:
\[ \frac13x^2-4x+4=0. \]
Умножим на \(3\):
\[ x^2-12x+12=0. \]
\[ x_{1,2}=6\pm2\sqrt6. \]
Точки пересечения с осью \(Ox\):
\[ (6-2\sqrt6;0),\qquad (6+2\sqrt6;0). \]
- Пересечение с осью \(Oy\):
при \(x=0\):
\[ y=4, \]
поэтому точка пересечения — \(\boxed{(0;4)}\).
- Знак функции:
\[ y>0 \text{ при } x<6-2\sqrt6 \text{ и } x>6+2\sqrt6; \]
\[ y<0 \text{ при } 6-2\sqrt6<x<6+2\sqrt6. \]
Проверка: \(f(6)=-8\), а \(f(0)=f(12)=4\), поэтому график действительно симметричен относительно прямой \(x=6\).
