Ответ на задание 479

Краткий ответ: \(BMDK\) — параллелограмм.

Доказательство.

Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\). В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому \(O\) — середина \(BD\) и \(AC\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(ABK\) и \(CDM\):

• \(AB=CD\) как противоположные стороны параллелограмма;
• \(\angle AKB=\angle CMD=90^\circ\);
• \(\angle BAK=\angle DCM\), так как \(AB\parallel CD\), а точки \(A,K,M,C\) лежат на одной прямой.

Следовательно,

\[ \triangle ABK\cong\triangle CDM \]

по гипотенузе и острому углу. Значит,

\[ AK=CM. \]

Так как \(O\) — середина \(AC\), из равенства \(AK=CM\) следует, что \(O\) также является серединой \(KM\).

В четырёхугольнике \(BMDK\) диагонали — это \(BD\) и \(MK\). Они делятся пополам в одной точке \(O\). По признаку параллелограмма:

\[ \boxed{BMDK\text{ — параллелограмм}.} \]

Проверка: \(BK\parallel DM\), поскольку оба отрезка перпендикулярны \(AC\); вторая пара противоположных сторон \(BM\) и \(DK\) параллельна по признаку диагоналей. Условие \(AB\ne BC\) исключает вырожденный случай \(K=M\).